2^a Questão:
(10 pontos) Encontre a série de TAYLor da função f(x)=9x^2-x-20 ao redor do ponto x=-1.

Passo 1

A questão pede a série de Taylor de f(x)=9x^2-x-20 em torno de x0=-1. O conteúdo aqui é série de Taylor (expansão em potências de (x+1)), e vamos precisar reescrever a função em termos de h=x+1, usar frações parciais e depois expandir cada termo como série geométrica.

Passo 2

Primeiro a gente faz a mudança de variável h = x+1, assim x = -1 + h. Substituindo em x^2-x-20 temos:

Passo 3

(-1+h)^2 - (-1+h) - 20 = (1 - 2h + h^2) + 1 - h -20 = h^2 -3h -18
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Passo 4

f(x)=9x^2-x-20 = 9h^2-3h-18 = 9(h-6)(h+3)

Passo 5

Agora aplicamos frações parciais: queremos constantes A e B tais que

Passo 6

9(h-6)(h+3) = Ah-6 + Bh+3

Passo 7

Resolvendo
9 = A(h+3) + B(h-6)
para todo h, igualando coeficientes, dá A=1 e B=-1. Então

Passo 8

f(x)=1h-6 - 1h+3

Passo 9

Para cada fração a gente usa expansão geométrica. Lembra que

Passo 10

11 - u = sumn=0^inftyu^n, |u|<1

Passo 11

No primeiro termo puxamos -6:

Passo 12

1h-6 = -16cdot 11 - h6 = -16sumn=0^inftyl(h6r)^n, |h|<6

Passo 13

No segundo termo puxamos 3:

Passo 14

1h+3 = 13cdot 11 + h3 = 13sumn=0^infty(-1)^nl(h3r)^n, |h|<3

Passo 15

Como no f(x) temos menos esse segundo termo,

Passo 16

f(x) = -16sumn=0^inftyh^n6^n ;- rac13sumn=0^infty(-1)^nh^n3^n

Passo 17

Por fim voltamos em h = x+1 e escrevemos numa soma só:

Passo 18

f(x) = sumn=0^inftyl( -16^n+1 - (-1)^n3^n+1 r)(x+1)^n, |x+1|<3

Resposta

f(x)=sumn=0^inftyl( -16^n+1 - (-1)^n3^n+1 r)(x+1)^n, |x+1|<3

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