Questão:
(10 pontos) Encontre a série de TAYLor da função
ao redor do ponto
.
(10 pontos) Encontre a série de TAYLor da função
Passo 1
A questão pede a série de Taylor de
em torno de
. O conteúdo aqui é série de Taylor (expansão em potências de
), e vamos precisar reescrever a função em termos de
, usar frações parciais e depois expandir cada termo como série geométrica.
Passo 2
Primeiro a gente faz a mudança de variável
, assim
. Substituindo em
temos:
Passo 3
Logo
Passo 4
Passo 5
Agora aplicamos frações parciais: queremos constantes
e
tais que
Passo 6
Passo 7
Resolvendo
para todo , igualando coeficientes, dá
e
. Então
para todo
Passo 8
Passo 9
Para cada fração a gente usa expansão geométrica. Lembra que
Passo 10
Passo 11
No primeiro termo puxamos
:
Passo 12
Passo 13
No segundo termo puxamos
:
Passo 14
Passo 15
Como no f(x) temos menos esse segundo termo,
Passo 16
Passo 17
Por fim voltamos em
e escrevemos numa soma só: