Questão:
(10 pontos) Estude a convergência da série
(10 pontos) Estude a convergência da série
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série infinita cujos termos gerais são dados por
Isso faz parte do conteúdo de séries de termos gerais e testes de convergência. Para resolver, vamos usar a definição de convergência de séries, verificar o limite do termo geral e aplicar o teste da comparação (ou comparação por limite) com uma p-série.
Passo 2
Primeiro, precisamos checar se o termo geral tende a zero. Se
então a série diverge. Calculando:
Logo,
Então não podemos concluir divergência por esse teste, mas ao menos satisfaz a condição necessária.
Passo 3
Para aprofundar, observamos que para n grande
A série
é uma p-série com p=5/3>1, sabidamente convergente. Vamos usar o teste da comparação por limite entre
e
.
Passo 4
Calculando o limite do quociente:
E, ao deixar
, temos
Como esse limite é finito e não nulo, o teste da comparação por limite garante que
converge se e somente se
converge. Já sabemos que
converge.
Passo 5
Portanto, concluímos que a série original converge.
Resposta
A série converge pelo teste da comparação por limite com a p-série de expoente 5/3 (>1).