2^a Questão:
(10 pontos) Estude a convergência da série
25+raiz[3]2+18+cdots+raiz[3]n+1n^2+4+cdots

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série infinita cujos termos gerais são dados por
an=raiz[3]n+1n^2+4
Isso faz parte do conteúdo de séries de termos gerais e testes de convergência. Para resolver, vamos usar a definição de convergência de séries, verificar o limite do termo geral e aplicar o teste da comparação (ou comparação por limite) com uma p-série.

Passo 2

Primeiro, precisamos checar se o termo geral tende a zero. Se
limntoinftyanneq0
então a série diverge. Calculando:
an=raiz[3]n+1n^2+4simn^1/3n^2=n^-5/3
Logo,
limntoinftyan=0
Então não podemos concluir divergência por esse teste, mas ao menos satisfaz a condição necessária.

Passo 3

Para aprofundar, observamos que para n grande
A série é uma p-série com p=5/3>1, sabidamente convergente. Vamos usar o teste da comparação por limite entre e .

Passo 4

Calculando o limite do quociente:
anbn =n^1/3+1n^2+4n^-5/3 =(n^1/3+1),n^5/3n^2+4 =n^2+n^5/3n^2+4
E, ao deixar ntoinfty, temos
limntoinftyanbn=1
Como esse limite é finito e não nulo, o teste da comparação por limite garante que sum an converge se e somente se sum bn converge. Já sabemos que sum bn converge.

Passo 5

Portanto, concluímos que a série original converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação por limite com a p-série de expoente 5/3 (>1).

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