Considere o cicloide parametrizado pelas equações
(c) Encontre o volume do sólido obtido através da rotação desta área pelo eixo
Passo 1
O enunciado dá a curva cicloide
para
, e pede o volume do sólido obtido ao girar a região sob essa curva em torno do eixo
.
O conteúdo usado será o cálculo de volume por revolução em torno do eixo com coordenadas paramétricas.
O conteúdo usado será o cálculo de volume por revolução em torno do eixo
Passo 2
Quando giramos uma região em torno do eixo
, o volume pode ser escrito por
onde
é um elemento de área. Como a região está sob a curva, escolhemos
. Logo
Em coordenadas paramétricas temos
, então
Passo 3
Calculamos primeiro a derivada
e recordamos que
. Assim
Portanto
Passo 4
Expandimos o integrando e separamos em integrais mais simples. Note que
então
Cálculo direto mostra que a segunda integral é zero por ser combinação de senos e cossenos completos em
, e a primeira dá
logo
Substituindo em
resulta