Considere o cicloide parametrizado pelas equações
x(theta)=r(theta-sen theta), y(theta)=r(1-cos theta)
(c) Encontre o volume do sólido obtido através da rotação desta área pelo eixo y

Passo 1

O enunciado dá a curva cicloide
x(theta)=rl(theta-senthetar), y(theta)=rl(1-costhetar),
para thetain[0,2pi], e pede o volume do sólido obtido ao girar a região sob essa curva em torno do eixo y.
O conteúdo usado será o cálculo de volume por revolução em torno do eixo y com coordenadas paramétricas.

Passo 2

Quando giramos uma região em torno do eixo y, o volume pode ser escrito por
V = 2pi integral x,dA,
onde dA é um elemento de área. Como a região está sob a curva, escolhemos dA = y,dx. Logo
V = 2pi integral x,y,dx
Em coordenadas paramétricas temos dx = x'(theta),dtheta, então
V = 2pi integral0^2pi x(theta),y(theta),x'(theta),dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada
x'(theta)=rl(1-costhetar),
e recordamos que y(theta)=r(1-costheta). Assim
x,y,x' = l[r(theta-sentheta)r]cdotl[r(1-costheta)r]cdotl[r(1-costheta)r] = r^3,(theta-sentheta),(1-costheta)^2
Portanto
V = 2pi,r^3 integral0^2pi (theta-sentheta),(1-costheta)^2,dtheta

Passo 4

Expandimos o integrando e separamos em integrais mais simples. Note que
(1-costheta)^2 = 1 - 2costheta + cos^2theta,
então
I = integral0^2pi (theta-sentheta),(1 - 2costheta + cos^2theta),dtheta = integral0^2pitheta(1 - 2costheta + cos^2theta),dtheta - integral0^2pisentheta,(1 - 2costheta + cos^2theta),dtheta
Cálculo direto mostra que a segunda integral é zero por ser combinação de senos e cossenos completos em [0,2pi], e a primeira dá
integral0^2pitheta,dtheta=2pi^2, integral0^2pithetacostheta,dtheta=0, integral0^2pithetacos^2theta,dtheta=pi^2,
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I = 2pi^2 + pi^2 = 3pi^2
Substituindo em V resulta
V = 2pi,r^3,(3pi^2) = 6pi^3,r^3

Resposta

V = 6pi^3,r^3

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