Esboce as curvas polares.
(b) r=-2(1+cos theta)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva polar
r = -2l(1+costhetar)
O conteúdo aqui é traçar curvas no sistema polar sabendo interpretar quando r fica negativo (pois isso “vira” o ponto em theta+pi) e identificar a forma geral (aqui um cardioide).

Passo 2

Vamos obter alguns pontos-chave calculando r em ângulos famosos e transformando para coordenadas usuais (x,y). Quando r<0, o ponto (r,theta) fica em (|r|,theta+pi).
theta=0:;&r=-2(1+cos0)=-2cdot2=-4Longrightarrow;(4,pi)equiv(-4,0), theta=tfracpi2:;&r=-2(1+costfracpi2)=-2Longrightarrow;(2,tfracpi2+pi)=(2,tfrac3pi2)equiv(0,-2), theta=pi:;&r=-2(1+cospi)=0Longrightarrow;ori>=m, theta=tfrac3pi2:;&r=-2(1+costfrac3pi2)=-2Longrightarrow;(2,tfrac3pi2+pi)=(2,tfrac5pi2)equiv(0,2), theta=2pi:;&r=-2(1+cos2pi)=-4Longrightarrow;(-4,0);de novo
Note que para todo thetain[0,2pi] temos 1+costheta>=0, logo r<=0. A curva acaba sendo o mesmo traçado de
r'=2(1+costheta)
mas girado em pi. O traçado de r'=2(1+costheta) é um cardioide com cuspide na origem e vértice em x=4. Rotacionando tudo por pi, o vértice fica em x=-4.

Passo 3

A simetria em relação ao eixo x se mantém. Entre theta=0 e theta=pi o traço vai de (-4,0) subindo até o ponto superior (0,2) e estreitando até o cuspide na origem em theta=pi. De pi a 2pi o traçado continua ao redor descendo até (0,-2) e voltando a (-4,0).
Portanto o gráfico é um cardioide voltado para a esquerda, com cuspide na origem, ponto mais à esquerda em (-4,0) e interseções com o eixo y em (0,2) e (0,-2).

Resposta

A curva é um cardioide com cuspide na origem, abertura para a esquerda, vértice em (-4,0) e interceptações em (0,2) e (0,-2).

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