Considere o cicloide parametrizado pelas equações
x(theta)=r(theta-sen theta), y(theta)=r(1-cos theta)
(a) Encontre o centroide da região abaixo do primeiro arco do cicloide

Passo 1

O enunciado quer o centroide da região sob o primeiro arco da cicloide
x(theta)=rl(theta-senthetar), y(theta)=rl(1-costhetar),
para thetain[0,2pi].
Conteúdo: cálculo de área e centroides por parametrização.
Fórmulas que vamos usar:
A=integral0^2piy(theta),x'(theta),dtheta,
bar x=1Aintegral0^2pix(theta),y(theta),x'(theta),dtheta,
bar y=12Aintegral0^2piy(theta)^2,x'(theta),dtheta

Passo 2

Calcular a área A.
Primeiro x'(theta)=dxdtheta=rl(1-costhetar).
Então
A=integral0^2piy,x',dtheta =integral0^2pir(1-costheta);r(1-costheta),dtheta =r^2integral0^2pi(1-costheta)^2,dtheta
Expandindo e integrando:
(1-costheta)^2=1-2costheta+cos^2theta =1-2costheta+1+cos2theta2 =32-2costheta+12cos2theta,
integral0^2pi(1-costheta)^2,dtheta =integral0^2pi32,dtheta =3pi
Logo
A=3pi,r^2

Passo 3

Calcular bar x.
bar x=1Aintegral0^2pix,y,x',dtheta =13pi r^2integral0^2pi l[r(theta-sentheta)r];l[r(1-costheta)r];l[r(1-costheta)r],dtheta
Isso é
bar x=r^33pi r^2 integral0^2pi(theta-sentheta)(1-costheta)^2,dtheta =r3pi;I,
com
I=integral0^2pi(theta-sentheta)(1-costheta)^2,dtheta
Separando I=I1-I2 e usando integrais por partes e identidades, encontra-se
I=3pi^2,e assim bar x=r3pi;3pi^2=pi,r

Passo 4

Calcular bar y.
bar y=12Aintegral0^2piy^2,x',dtheta =12cdot3pi r^2 integral0^2pil[r(1-costheta)r]^2;r(1-costheta),dtheta =r^36pi r^2integral0^2pi(1-costheta)^3,dtheta
Usando expansão e integrando dá
integral0^2pi(1-costheta)^3,dtheta=5pi,
logo
bar y=r6pi;5pi=5r6

Resposta

(bar x,bar y)=l(pi r,tfrac5r6r)

Exercícios relacionados