Determine o comprimento da curva polar.
(f) r=1-cos theta, 0 <= theta <= 12 pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva no sistema polar dada por
r = 1 - costheta, 0 <= theta <= pi2
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de uma curva polar:
L = integraltheta1^theta2 raizr^2 + l(drdthetar)^2,dtheta

Passo 2

Calcular a derivada de r em função de theta e montar a integral:
drdtheta = sintheta,
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L = integral0^pi/2 raiz(1 - costheta)^2 + (sintheta)^2,dtheta

Passo 3

Simplificar o integrando usando
(1 - costheta)^2 + sin^2theta = 1 -2costheta + cos^2theta + sin^2theta = 2 -2costheta = 2,(1-costheta),
e a identidade de ângulo metade
1-costheta = 2sin^2!l(tfractheta2r)
Assim
raiz2,(1-costheta) = raiz4,sin^2!l(tfractheta2r) = 2,sin!l(tfractheta2r),
pois em [0,tfracpi2] temos sin(theta/2)>=0. Portanto
L = integral0^pi/2 2,sin!l(tfractheta2r),dtheta

Passo 4

Fazer a substituição u = tfractheta2, dtheta = 2,du, com limites u(0)=0 e u(tfracpi2)=tfracpi4:
L = integral0^pi/4 2,sin(u)cdot 2,du = 4integral0^pi/4sin(u),du = 4l[-cos(u)r]0^pi/4 = 4l(-tfracraiz22 + 1r) = 4 - 2raiz2

Resposta

O comprimento da curva é L = 4 - 2raiz2.

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