Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
grad(div F)

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos um campo escalar e um campo vetorial . A expressão que a gente quer analisar é
O conteúdo aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente os operadores divergente ( ) e gradiente (). Para resolver, precisamos lembrar o que cada operador faz, em que tipo de objeto ele atua (campo escalar ou vetor) e o que retorna.

Passo 2

Definindo a divergência
  • A divergência de um campo vetorial vec F = (F1, F2, F3) é um campo escalar dado por
div vec F ;=; partial F1partial x ;+; partial F2partial y ;+; partial F3partial z
  • Aqui, div vec F é um escalar que varia de ponto a ponto no espaço. Para existir, a gente supõe que cada componente Fi seja diferenciável (ou, no mínimo, tenha derivadas parciais contínuas).

Passo 3

Definindo o gradiente
  • O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial dado por
  • Ou seja, o gradiente pega um escalar e devolve um vetor apontando na direção de maior crescimento de .

Passo 4

Analisando a composição
  1. Primeiro aplicamos em . Isso gera um campo escalar .
  2. Depois aplicamos nesse campo escalar . Como vimos, o gradiente age sobre escalares e retorna vetores.
Não existe conflito de tipos: é escalar, então está tudo certo pra aplicarmos depois.

Resposta

Sim, a expressão faz sentido e, após as duas operações, o resultado é um campo vetorial.

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