Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos um campo escalar
e um campo vetorial
. A expressão que a gente quer analisar é
O conteúdo aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente os operadores divergente (
) e gradiente (). Para resolver, precisamos lembrar o que cada operador faz, em que tipo de objeto ele atua (campo escalar ou vetor) e o que retorna.
Passo 2
Definindo a divergência
- A divergência de um campo vetorial
é um campo escalar dado por
- Aqui,
é um escalar que varia de ponto a ponto no espaço. Para existir, a gente supõe que cada componente seja diferenciável (ou, no mínimo, tenha derivadas parciais contínuas).
Passo 3
Definindo o gradiente
- O gradiente de um campo escalar
é um campo vetorial dado por
- Ou seja, o gradiente pega um escalar e devolve um vetor apontando na direção de maior crescimento de
.
Passo 4
Analisando a composição
- Primeiro aplicamos
em . Isso gera um campo escalar . - Depois aplicamos nesse campo escalar
. Como vimos, o gradiente age sobre escalares e retorna vetores.
Não existe conflito de tipos:
é escalar, então está tudo certo pra aplicarmos depois.
Resposta
Sim, a expressão faz sentido e, após as duas operações, o resultado é um campo vetorial.