Considere um cilindro homogêneo de raio R, comprimento infinito e densidade linear de massa lambda. (a) Determine o vetor campo gravitacional em um ponto P localizado a uma distância s do eixo do cilindro, com s>R. (b) Calcule o potencial gravitacional phi(s) nesse ponto P, adotando um referencial adequado para o potencial. (c) Represente esquematicamente as linhas de força do campo gravitacional.

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro homogêneo de raio R, comprimento infinito e densidade linear de massa lambda. Como o comprimento é infinito e a distribuição é cilíndrica, vamos usar a simetria cilíndrica e a lei de Gauss para gravitação (análogo à eletrostática), que diz que o fluxo do campo gravitacional g por uma superfície fechada é igual a -4pi G vezes a massa envolvida.

Passo 2

Escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio s>R e comprimento L. A massa por unidade de comprimento é lambda, logo a massa total dentro do cilindro é lambda L. O fluxo de g pela superfície lateral vale
Phi = oint gcdot d A ;=; g(s),(2pi sL),,
e, pela lei de Gauss gravitacional,
g(s),2pi sL ;=; 4pi G,(lambda L)
Cancelando L e isolando g(s), obtemos
g(s) ;=;2Glambdas
Como o campo aponta para dentro (em direção ao eixo), o vetor campo é
g(s) ;=;-,2Glambdas, s

Passo 3

O potencial gravitacional phi(s) satisfaz
g(s) ;=; -,nablaphi(s),
onde em coordenadas cilíndricas radiais isso implica
g(s) ;=; -,dphids ;Longrightarrow; dphids ;=;-,2Glambdas
Integramos de uma referência s=R (onde definimos phi(R)=0) até s:
phi(s)-phi(R) =,-2GlambdaintegralR^sdrr =-2GlambdalnsR
Como phi(R)=0, fica
phi(s) ;=;-,2Glambdaln!l(tfracsRr)

Passo 4

As linhas de força do campo gravitacional são radiais e apontam para o eixo do cilindro. Esquematicamente, para s>R, são semirretas que emanam de cada ponto exterior e convergem perpendicularmente ao eixo, todas uniformemente espaçadas ao longo da circunferência.

Resposta

(a) g(s)=-2Glambdas, s
(b) phi(s)=-2Glambdaln!l(tfracsRr) (com phi(R)=0).
(c) Linhas de força radiais convergindo para o eixo do cilindro.

Exercícios relacionados