Considere um cilindro homogêneo de raio
, comprimento infinito e densidade linear de massa
. (a) Determine o vetor campo gravitacional em um ponto
localizado a uma distância
do eixo do cilindro, com
. (b) Calcule o potencial gravitacional
nesse ponto
, adotando um referencial adequado para o potencial. (c) Represente esquematicamente as linhas de força do campo gravitacional.
Passo 1
O enunciado trata de um cilindro homogêneo de raio
, comprimento infinito e densidade linear de massa
. Como o comprimento é infinito e a distribuição é cilíndrica, vamos usar a simetria cilíndrica e a lei de Gauss para gravitação (análogo à eletrostática), que diz que o fluxo do campo gravitacional
por uma superfície fechada é igual a
vezes a massa envolvida.
Passo 2
Escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio
e comprimento
. A massa por unidade de comprimento é
, logo a massa total dentro do cilindro é
. O fluxo de
pela superfície lateral vale
e, pela lei de Gauss gravitacional,
Cancelando
e isolando
, obtemos
Como o campo aponta para dentro (em direção ao eixo), o vetor campo é
Passo 3
O potencial gravitacional
satisfaz
onde em coordenadas cilíndricas radiais isso implica
Integramos de uma referência
(onde definimos
) até
:
Como
, fica
Passo 4
As linhas de força do campo gravitacional são radiais e apontam para o eixo do cilindro. Esquematicamente, para
, são semirretas que emanam de cada ponto exterior e convergem perpendicularmente ao eixo, todas uniformemente espaçadas ao longo da circunferência.
Resposta
(a)
(b) (com
).
(c) Linhas de força radiais convergindo para o eixo do cilindro.
(b)
(c) Linhas de força radiais convergindo para o eixo do cilindro.