Considere que a densidade de uma estrela é uma função de r medido a partir do centro da estrela e dado por,
rho=M a^22 pi r(r^2+a^2)^2, 0 <= r<infty,
onde M é a massa da estrela e a, uma constante que determina o tamanho dela. Determine a intensidade do campo gravitacional e o potencial gravitacional como funções de r.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade esfericamente simétrica
rho(r)=M,a^22pi,r,(r^2+a^2)^2
e pede o campo gravitacional g(r) e o potencial phi(r).
Conteúdo: simetria esférica e Teorema de Gauss (massa interna), depois g(r)=-G,m(r)/r^2 e phi(r)=-integralinfty^rg(r'),dr'.

Passo 2

Calcular a massa interna
m(r)=integral0^r4pi,r'^2,rho(r'),dr'
Substituindo rho:
m(r)=integral0^r4pi,r'^2,M,a^22pi,r',(r'^2+a^2)^2,dr' =2M,a^2integral0^rr'(r'^2+a^2)^2,dr'
Fazendo u=r'^2+a^2, du=2r',dr', obtém-se
integral0^rr'(r'^2+a^2)^2,dr' =12l[-1r'^2+a^2r]0^r =12l(1a^2-1r^2+a^2r)
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m(r)=2M,a^2cdot12l(1a^2-1r^2+a^2r) =Ml(1-a^2r^2+a^2r)

Passo 3

O módulo do campo gravitacional em simetria esférica é
g(r)=G,m(r)r^2 =G,Mr^2l(1-a^2r^2+a^2r) =G,Mr^2+a^2
Como vetor, ele aponta para o centro:
g(r)=-G,Mr^2+a^2;r

Passo 4

O potencial phi(r) com referência phi(infty)=0 satisfaz
dphidr=-g(r) Longrightarrow phi(r)=-integralinfty^r!l(-G,Mr'^2+a^2r),dr' =G,Mintegralr^inftydr'r'^2+a^2
Fazendo a antiderivada,
integralr^inftydr'r'^2+a^2 =1al[pi2-arctan!l(tfracrar)r],
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phi(r)=-G,Mal(pi2-arctan!l(tfracrar)r)

Resposta

g(r)=-G,Mr^2+a^2;r,
\n phi(r)=-G,Mal(pi2-arctan!l(tfracrar)r)

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