Considere o cilindro homogêneo x^2+(y-a)^2=a^2 e 0 <= z <= h. Calcule o momento de inércia em relação ao eixo z, em função da massa M do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um cilindro homogêneo de raio a e altura h cujo eixo está deslocado em distância a do eixo z. O conteúdo é momento de inércia de corpos rígidos, e vamos usar a definição I=integral r^2,dm, o resultado para um cilindro em seu próprio eixo e o teorema dos eixos paralelos.

Passo 2

Primeiro, determine a densidade volumétrica e o momento de inércia em torno do eixo que passa pelo centro do cilindro (eixo próprio). A densidade volumétrica é
rho = Mpi a^2 h
Aplicando
Icent=integralV r'^2,dm
em coordenadas cilíndricas ( r' distância ao eixo central):
Icent=rhointegral0^h!integral0^2pi!integral0^a (r')^2,r',dr',dtheta,dz =rho,h,2piintegral0^a r'^3dr' =rho,h,2pia^44 =12 M a^2

Passo 3

Agora aplicamos o teorema dos eixos paralelos. Como o eixo z está a distância d=a do eixo central do cilindro, temos
Iz = Icent + M d^2 = Icent + M a^2

Passo 4

Substituindo Icent=tfrac12 M a^2 obtemos
Iz = 12 M a^2 + M a^2 = 32 M a^2

Resposta

Iz = 32 M a^2

Exercícios relacionados