Dê uma parametrização para a superfície de um cone circular reto de altura h e raio da base R. Em seguida, utilize a parametrização obtida para calcular, via integral de superfície, a área da superfície cônica.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da superfície lateral de um cone circular reto de altura h e raio da base R, e em seguida o cálculo da área dessa superfície via integral de superfície. Vamos escolher coordenadas que varrem toda a parte lateral do cone, usar a fórmula da área como
\iint_{D} \bigl\lVert X_u \times X_v \bigr\rVert \,du\,dv
e obter uma expressão em função de R e h.

Passo 2

Escolhemos parâmetros (u,v) com
0 \le u \le 2\pi,\quad 0 \le v \le 1,
de modo que u é o ângulo azimutal e v varia do contorno da base até o vértice. Definimos a parametrização
X(u,v) = \bigl(R(1-v)\cos u,\;R(1-v)\sin u,\;h\,v\bigr).
Para v=0 temos o círculo de raio R em z=0 (base), e para v=1 chegamos ao vértice (0,0,h).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
X_u = \bigl(-R(1-v)\sin u,\;R(1-v)\cos u,\;0\bigr),
X_v = \bigl(-R\cos u,\;-R\sin u,\;h\bigr).
O vetor normal não orientado é dado por X_u \times X_v.

Passo 4

Fazendo o produto vetorial e calculando sua norma,
X_u \times X_v = \bigl(hR(1-v)\cos u,\;hR(1-v)\sin u,\;R^2(1-v)\bigr),
\bigl\lVert X_u \times X_v \bigr\rVert = \sqrt{h^2R^2(1-v)^2 + R^4(1-v)^2} = R(1-v)\sqrt{h^2 + R^2}.
Note que \sqrt{h^2 + R^2} é a geratriz (slant height) do cone, que chamaremos de L.

Passo 5

A área lateral do cone é
\iint_{D} \bigl\lVert X_u \times X_v \bigr\rVert \,du\,dv = \int_{u=0}^{2\pi}\!\int_{v=0}^{1} R(1-v)\,L \,dv\,du.
Como L e R são constantes:
= RL \int_{0}^{2\pi}\!du \;\int_{0}^{1}(1-v)\,dv = RL \cdot 2\pi \cdot \Bigl[v - \tfrac{v^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = RL \cdot 2\pi \cdot \tfrac12 = \pi R\,L.
Substituindo L = \sqrt{R^2 + h^2}, obtemos a área lateral.

Resposta

A parametrização da superfície lateral é
X(u,v) = \bigl(R(1-v)\cos u,\;R(1-v)\sin u,\;h\,v\bigr), \quad (u,v)\in[0,2\pi]\times[0,1],
e a área encontrada é
\boxed{\pi R \,\sqrt{R^2 + h^2}}.

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