Considere o cilindro B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; \quad x^{2}+y^{2}=1, \quad 0 \leq z \leq 1\right\} e seja \vec{F}(x, y, z)= P(x, y, z) \vec{i}+Q(x, y, z) \vec{j} de classe C^{1} num aberto contendo B. Verifique que
\iint_{\sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} \mathrm{~d} S=\iiint_{B} \operatorname{div} \vec{F} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
onde \sigma é a fornteira de B com normal \vec{n} apontando para fora de B.
4. Calcule \iint_{\sigma}(\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{n} \mathrm{~d} S, onde \vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k} e \sigma é a parte da casca esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 acima do plano x y, sendo \vec{n} o campo de vetores unitário e normal a \sigma que aponta para cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{\sigma}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS
onde \vec F(x,y,z) = y\,\vec i + z\,\vec j + x\,\vec k e \sigma é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 com z\ge0. O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de superfície a uma integral de linha ao longo da borda \partial\sigma.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Stokes:
\iint_{\sigma}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS = \oint_{\partial\sigma}\vec F\cdot d\vec r.
Aqui \partial\sigma é a curva de interseção de \sigma com o plano z=0, orientada segundo a regra da mão direita para \vec n apontando para cima.

Passo 3

A curva \partial\sigma é o círculo
x^2 + y^2 = 4,\quad z=0,
com orientação anti-horária vista de cima. Parametrizamos por
\vec r(\theta) = \bigl(2\cos\theta,\,2\sin\theta,\,0\bigr), \quad 0\le\theta\le2\pi,
de modo que
d\vec r = \bigl(-2\sin\theta,\,2\cos\theta,\,0\bigr)\,d\theta.

Passo 4

Em \partial\sigma, \vec F(\vec r(\theta)) = \bigl(2\sin\theta,\,0,\,2\cos\theta\bigr).
Logo
\vec F\cdot d\vec r = (2\sin\theta)(-2\sin\theta) +0\cdot(2\cos\theta) + (2\cos\theta)\cdot0 = -4\sin^2\theta\,d\theta.

Passo 5

Calculamos a integral de linha:
\oint_{\partial\sigma}\vec F\cdot d\vec r = \int_{0}^{2\pi} -4\sin^2\theta\,d\theta = -4\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = -4\pi.
Pelo Teorema de Stokes, esse valor é igual à integral de superfície desejada.

Resposta

\iint_{\sigma}(\operatorname{rot}\vec F)\cdot\vec n\,dS = -4\pi.

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