Considere o cilindro
e seja
de classe
num aberto contendo
. Verifique que
onde
é a fornteira de
com normal
apontando para fora de
.
4. Calcule
, onde
e
é a parte da casca esférica
acima do plano
, sendo
o campo de vetores unitário e normal a
que aponta para cima.
4. Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é a parte da esfera
com
. O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de superfície a uma integral de linha ao longo da borda
.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Stokes:
Aqui
é a curva de interseção de
com o plano
, orientada segundo a regra da mão direita para
apontando para cima.
Passo 3
A curva
é o círculo
com orientação anti-horária vista de cima. Parametrizamos por
de modo que
Passo 4
Em
,
.
Logo
Logo
Passo 5
Calculamos a integral de linha:
Pelo Teorema de Stokes, esse valor é igual à integral de superfície desejada.