Exercício de Fixação

  • Uma empresa de eletrônicos acredita que conseguirá aumentar suas vendas através de propagandas na televisão. Alguns produtos se destinam às mulheres e outros às crianças. A empresa entende que os comerciais que mais atingirão os seus dois públicos alvos são os dos intervalos das novelas e dos programas matinais infantis.
  • Cada comercial transmitido durante as novelas é visto por 9 milhões de mulheres e por 1 milhão de crianças, enquanto durante os programas infantis, 8 milhöes de crianças assistem e 3 milhões de mulheres.
  • O preço do minuto de propaganda varia da seguinte forma: \mathbf{8 0} milhões durante a transmissão de novelas e 10 milhões pela manhã.
  • O que a empresa busca é o custo mínimo de propaganda sendo que ela tem o objetivo de atingir um público de pelo menos 30 milhões de mulheres e 20 milhões de crianças.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de programação linear: escolher quantos minutos de comerciais em novelas e em programas infantis para minimizar o custo, sujeitando-se a atingir pelo menos 30 milhões de mulheres e 20 milhões de crianças.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão: \displaystyle x = minutos de comercial durante as novelas \displaystyle y = minutos de comercial durante os programas matinais infantis

Passo 3

Montamos a função objetivo e as restrições a partir dos dados:
\text{Minimizar}\quad C = 80\,x + 10\,y
sujeito a
9\,x + 3\,y \;\ge\; 30
x + 8\,y \;\ge\; 20
x \ge 0,\quad y \ge 0

Passo 4

Usamos o método dos pontos de canto. Os vértices candidatas estão em:
– interseção com os eixos
– interseção das retas 9x+3y=30\) e \(x+8y=20\) 1. Se \(x=0\), então de \(9\cdot0+3y\ge30\) vem \(y\ge10\). Como \(0+8y\ge20\) dá \(y\ge2{,}5\), o ponto é \((0,10)\). 2. Se \(y=0\), então de \(x+8\cdot0\ge20\) vem \(x\ge20\) e de \(9x\ge30\) vem \(x\ge\frac{30}{9}=3{,}33\), o ponto relevante é \((20,0)\). 3. Para a interseção, resolvemos \[\begin{cases} 9x + 3y = 30,\\\ x + 8y = 20. \end{cases}
Da primeira vem (y = 10 - 3x]. Substituindo na segunda:
x + 8(10 - 3x) = 20 \;\Longrightarrow\; -23x = -60 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{60}{23},\quad y = 10 - 3\cdot\tfrac{60}{23} = \tfrac{50}{23}.

Passo 5

Calculamos o custo em cada ponto:
– Em (0,10):
C = 80\cdot0 + 10\cdot10 = 100.
– Em (20,0):
C = 80\cdot20 + 10\cdot0 = 1600.
– Em \bigl(\tfrac{60}{23},\tfrac{50}{23}\bigr):
C = 80\cdot\tfrac{60}{23} + 10\cdot\tfrac{50}{23} = \tfrac{4800 + 500}{23} = \tfrac{5300}{23}\approx230{,}43.

Passo 6

O menor custo é 100 milhões, obtido em (x,y)=(0,10).

Resposta

A empresa deve veicular 0 minutos de comerciais nas novelas e 10 minutos nos programas infantis, com custo mínimo de 100 milhões.

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