1. Considere as funções reais f(x)=x^{2}+3 e g(x)=4 x+1.
    a) Qual a expressão matemática da função \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x})) ?
    b) Qual a expressão matemática da função \mathrm{g}^{-1}(\mathrm{x}) ?

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções reais f(x)=x^{2}+3 e g(x)=4x+1.
Pede em (a) a composição f\bigl(g(x)\bigr) e em (b) a função inversa de g. Para isso vamos usar o conceito de composição de funções e o método de inverter uma função linear.

Passo 2

Para obter f\bigl(g(x)\bigr) substituímos g(x) no lugar de x em f(x):
f\bigl(g(x)\bigr) = \bigl(g(x)\bigr)^{2} + 3 = (4x+1)^{2} + 3.
Agora expandimos o quadrado e somamos o 3:
(4x+1)^{2} + 3 = 16x^{2} + 8x + 1 + 3 = 16x^{2} + 8x + 4.

Passo 3

Para achar a inversa de g, escrevemos
y = 4x + 1
e resolvemos para x:
y - 1 = 4x
x = \frac{y - 1}{4}.
Renomeando y como x, obtemos
g^{-1}(x) = \frac{x - 1}{4}.

Resposta

a) f\bigl(g(x)\bigr) = 16x^{2} + 8x + 4.
b) g^{-1}(x) = \frac{x - 1}{4}.

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