Considere um cilindro oco, com raios interno e externo ri e re, respectivamente e temperaturas superficiais interna Ti e externa Te . Se a variação da condutividade térmica for descrita como
ke
, determine a taxa de transferência de calor estacionária na direção radial. Compare o resultado com o caso da condutividade térmica ser constante, k calculada na temperatura média aritmética.
Passo 1
Beleza! A gente tem um cilindro oco (com comprimento
, que você pode imaginar como “profundidade”), raio interno
e raio externo
. As temperaturas nas superfícies são
(interna) e
(externa). O lance é que a condutividade térmica não é constante, e sim
Queremos achar a taxa de calor estacionária radial
(em W) fluindo do interior pro exterior. Vamos usar a teoria de condução em coordenadas cilíndricas e fazer uma integração levando em conta esse
.
Passo 2
Em regime permanente (não muda no tempo), o fluxo de calor radial
é constante em qualquer raio
. A equação básica é
O sinal menos mostra que o calor flui do mais quente pro mais frio.
Passo 3
A ideia é separar as variáveis
e
. Isolando
e
:
Agora integramos de
a
e de
a
.
Passo 4
Substituindo
, temos
Calcule cada lado:
- LHS:
- RHS:
Passo 5
Juntando tudo:
Como
, o resultado vai ficar positivo se a gente trocar a ordem
. Logo
Passo 6
No caso “simplão” com
constante igual a
em temperatura média aritmética
, seria
Mas note que
ou seja, dá exatamente o mesmo
!
Resposta
que coincide numericamente com o resultado de usar
constante avaliado em
.