Considere um cilindro oco, com raios interno e externo ri e re, respectivamente e temperaturas superficiais interna Ti e externa Te . Se a variação da condutividade térmica for descrita como k= ke (1+beta T), determine a taxa de transferência de calor estacionária na direção radial. Compare o resultado com o caso da condutividade térmica ser constante, k calculada na temperatura média aritmética.

Passo 1

Beleza! A gente tem um cilindro oco (com comprimento k(T) ;=; ke,(1 + beta,T) , que você pode imaginar como “profundidade”), raio interno e raio externo . As temperaturas nas superfícies são (interna) e (externa). O lance é que a condutividade térmica não é constante, e sim
Queremos achar a taxa de calor estacionária radial (em W) fluindo do interior pro exterior. Vamos usar a teoria de condução em coordenadas cilíndricas e fazer uma integração levando em conta esse .

Passo 2

Em regime permanente (não muda no tempo), o fluxo de calor radial Q ;=;-,k(T),l(2pi,L,rr),dTdr é constante em qualquer raio . A equação básica é
O sinal menos mostra que o calor flui do mais quente pro mais frio.

Passo 3

A ideia é separar as variáveis Q ;=;-2pi L,r,k(T),dTdr Longrightarrow Q2pi L,drr ;=;-,k(T),dT e . Isolando e :
Agora integramos de a e de a .

Passo 4

Substituindo integralri^redrr;Q2pi L ;=;-;keintegralTi^Te(1+beta T),dT , temos
Calcule cada lado:
  • LHS:
  • RHS:

Passo 5

Juntando tudo:
Q2pi L,ln!reri ;=;-,kel[(Te - Ti) + tfracbeta2(Te^2 - Ti^2)r]
Como Q ;=;2pi L,ke; (Ti - Te) + tfracbeta2(Ti^2 - Te^2) ln!reri , o resultado vai ficar positivo se a gente trocar a ordem . Logo

Passo 6

No caso “simplão” com Qrm const ;=; 2pi L,km;Ti - Teln(re/ri) ;=; 2pi L,kel[1+betaTi+Te2r] Ti - Teln(re/ri) constante igual a (Ti^2 - Te^2)= (Ti-Te)(Ti+Te) ;;Longrightarrow;; (Ti - Te)+tfracbeta2(Ti^2 - Te^2) =(Ti-Te)l[1+betatfracTi+Te2r], em temperatura média aritmética , seria
Mas note que
ou seja, dá exatamente o mesmo !

Resposta

boxed Q ;=; 2pi L,ke, (Ti - Te) + tfracbeta2,(Ti^2 - Te^2) ln!dfracreri !,
que coincide numericamente com o resultado de usar constante avaliado em .

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