(Simmons, pag 106, 3b) Encontre a solução geral de
. Resposta parcial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, precisamos achar a solução geral que é a soma da solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) com uma solução particular da equação completa. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, fazemos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pelo discriminante:
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Dado que o termo da direita é
, a gente assume uma forma para
. Como já foi dado uma resposta parcial:
Essa forma leva em conta a presença de
e
, ajustando com polinômios em
para contemplar a complexidade do termo não homogêneo.
Passo 6
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Substituindo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.