(Simmons, pag 106, 3b) Encontre a solução geral de y^prime prime+2 y^prime+y= e^-t ln t. Resposta parcial: yp(t)=12 t^2 e^-t ln t-34 t^2 e^-t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
y'' + 2y' + y = e^-t ln t
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, precisamos achar a solução geral que é a soma da solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) com uma solução particular da equação completa. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
y'' + 2y' + y = 0
Para isso, fazemos a equação característica associada:
r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 + 2r + 1 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pelo discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = 4 - 4 = 0
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:
r = -b2a = -22 = -1

Passo 4

Com a raiz dupla r = -1 , a solução geral da parte homogênea é:
yh(t) = (C1 + C2 t) e^-t
Onde C1 e C2 são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa:
y'' + 2y' + y = e^-t ln t
Dado que o termo da direita é e^-t ln t , a gente assume uma forma para yp(t) . Como já foi dado uma resposta parcial:
yp(t) = 12 t^2 e^-t ln t - 34 t^2 e^-t
Essa forma leva em conta a presença de e^-t e ln t , ajustando com polinômios em t para contemplar a complexidade do termo não homogêneo.

Passo 6

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
y(t) = yh(t) + yp(t)
Substituindo:
y(t) = (C1 + C2 t) e^-t + 12 t^2 e^-t ln t - 34 t^2 e^-t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^-t + 12 t^2 e^-t ln t - 34 t^2 e^-t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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