(Simmons, pag 106, 3a.) Encontre a solução geral de y^prime prime+4 y=tg(2 t). Resposta parcial: yp(t)=-14 cos (2 t) ln (sec 2 t+tg 2 t).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = tan(2t)
O conteúdo é solução de ODE linear: primeiro encontramos a solução homogênea yh resolvendo y''+4y=0, depois um particular yp (por variação de parâmetros) e, por fim, somamos yh+yp.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + 4y = 0
o polinômio característico é r^2+4=0 com raízes r=pm2i. Logo a base fundamental é
y1(t)=cos(2t), y2(t)=sin(2t)
e
yh(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 3

Aplicamos variação de parâmetros. O Wronskiano de y1,y2 é
W = cos(2t) & sin(2t)[6pt] -2sin(2t) & 2cos(2t) =2cos^2(2t)+2sin^2(2t)=2
As fórmulas são
v1' = -f(t),y2W =-tan(2t),sin(2t)2, v2' = f(t),y1W =tan(2t),cos(2t)2
]

Passo 4

Integramos v1' e v2'. Primeiro
v1' = -sin(2t)cos(2t)cdotsin(2t)2 =-sin^2(2t)2cos(2t) =-12l(sec(2t)-cos(2t)r),
pois sin^2=1-cos^2. Então
v1 = -12integralsec(2t),dt + 12integralcos(2t),dt =-12l(tfrac12lnl|sec(2t)+tan(2t)r|r) +12l(tfrac12sin(2t)r)
v1 = -14lnl|sec(2t)+tan(2t)r| + 14sin(2t)
Em seguida
v2' = sin(2t)2, v2 = 12integralsin(2t),dt =-14cos(2t)

Passo 5

A solução particular é
yp = v1,y1 + v2,y2 =l(-14ln|sec(2t)+tan(2t)|+14sin(2t)r)cos(2t) -14cos(2t),sin(2t)
Os termos com sin(2t)cos(2t) cancelam, sobrando
yp(t)=-14cos(2t),lnl|sec(2t)+tan(2t)r|

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t) -14cos(2t),lnl|sec(2t)+tan(2t)r|

Exercícios relacionados