Considere o circuito elétrico abaixo formado por um resistor, um indutor e uma fonte de tensão externa ligados em série. A bateria gera uma diferença de potencial de V(t)=10 volts, enquanto a resistência R é de 100 ohms e a indutância L é de 0,5 henrys. Sabendo-se que a queda de potencial em um indutor é igual a L d Id t encontre a corrente I(t) em cada instante t, se I(0)=0.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série formado por uma resistência R=100 Omega, um indutor L=0,5 H e uma fonte de tensão constante V(t)=10 V. Sabe-se que a queda de potencial no indutor é ;L,dIdt e que a corrente inicial é I(0)=0. Vamos usar a lei de Kirchhoff para montar uma EDO linear de primeira ordem em I(t).

Passo 2

Pela lei de Kirchhoff das malhas, a soma das quedas de potencial em R e em L é igual à tensão da fonte:
R,I(t) ;+; L,dIdt ;=; V(t)
Como V(t)=10 é constante, a equação fica
0,5,dIdt + 100,I = 10

Passo 3

Reconhecemos uma EDO linear de primeira ordem da forma
L,dIdt + R,I = V
Para resolvê-la, achamos primeiro a solução homogênea ( V=0):
0,5,dIhdt + 100,Ih = 0 Longrightarrow dIhdt + 200,Ih = 0 Longrightarrow Ih(t) = C,e^-200,t

Passo 4

Em seguida, buscamos uma solução particular constante Ip. Como a derivada de Ip é zero, basta resolver
100,Ip = 10 Longrightarrow Ip = 10100 = 0,1 A
Logo a solução geral é
I(t) = Ip + Ih(t) = 0,1 + C,e^-200,t
Impondo a condição inicial I(0)=0
0 = 0,1 + C Longrightarrow C = -0,1

Passo 5

Substituindo C na solução geral obtemos a corrente no circuito para todo t>=0:
I(t) = 0,1l(1 - e^-200,tr) A

Resposta

I(t) = 0,1l(1 - e^-200,tr) A

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