Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raız da equa ção dada no intervalo especificado.
(a) x^5-2 x^4-x-3=0,(2,3);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x^5 - 2x^4 - x - 3 = 0
tem pelo menos uma raiz no intervalo (2,3). Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos garante a existência de um ponto c no intervalo sempre que a função for contínua e assumir sinais opostos nas extremidades.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^5 - 2x^4 - x - 3
Como f é um polinômio, ela é contínua em todo R, em especial no intervalo [2,3], condição necessária para aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Calculamos f em x=2:
f(2) = 2^5 - 2cdot 2^4 - 2 - 3 = 32 - 32 - 2 - 3 = -5

Passo 4

Calculamos f em x=3:
f(3) = 3^5 - 2cdot 3^4 - 3 - 3 = 243 - 162 - 3 - 3 = 75

Passo 5

Observamos que
f(2) = -5 < 0 e f(3) = 75 > 0,
logo f(2)cdot f(3)<0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin(2,3) tal que
f(c) = 0

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, a equação x^5 - 2x^4 - x - 3 = 0 possui pelo menos uma raiz em (2,3).

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