Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raız da equa ção dada no intervalo especificado.
(b) x^3+2 x=x^2+1,(0,1);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que a equação x^3+2x=x^2+1 tem pelo menos uma raiz no intervalo (0,1). O conteúdo necessário é o Teorema do Valor Intermediário, que exige uma função contínua em [a,b] e valores de sinais opostos em a e b.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^3+2x - l(x^2+1r)=x^3 - x^2+2x -1
Trata-se de um polinômio, logo é contínua em todo R.

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos do intervalo:
f(0)=0^3-0^2+2cdot0-1=-1<0,
f(1)=1^3-1^2+2cdot1-1=1-1+2-1=1>0

Passo 4

Como f(0)<0 e f(1)>0, e f é contínua em [0,1], pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(0,1) tal que f(c)=0.

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, concluímos que existe pelo menos uma raiz da equação x^3+2x=x^2+1 no intervalo (0,1).

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