Resolva as equações diferenciais abaixo, determinando a solução geral a partir do método dos coeficientes indeterminados.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é útil quando o lado direito da equação é uma função que a gente já sabe como assumir uma forma específica para a solução particular. Vamos precisar identificar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Então, a equação fica:
Como
nunca é zero, temos que:
Isso nos dá as raízes
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, que é uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas, assumiremos uma solução particular da forma:
onde
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Essa expressão deve ser igual a
, então temos:
Passo 8
Comparando os coeficientes das funções
e
, obtemos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 9
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
.
Passo 10
Agora que temos
e
, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.