Resolva as equações diferenciais abaixo, determinando a solução geral a partir do método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime-2 y^prime=e^t cos (t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y'' - 2y' = e^t cos(t). Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é útil quando o lado direito da equação é uma função que a gente já sabe como assumir uma forma específica para a solução particular. Vamos precisar identificar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é y'' - 2y' = 0. Para isso, assumimos uma solução da forma y = e^rt, onde r é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Substituindo y = e^rt na equação homogênea:
y' = r e^rt y'' = r^2 e^rt
Então, a equação fica:
r^2 e^rt - 2r e^rt = 0 e^rt (r^2 - 2r) = 0
Como e^rt nunca é zero, temos que:
r^2 - 2r = 0 r(r - 2) = 0
Isso nos dá as raízes r = 0 e r = 2.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^0t + C2 e^2t = C1 + C2 e^2t
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa y'' - 2y' = e^t cos(t). Como o lado direito é e^t cos(t), que é uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas, assumiremos uma solução particular da forma:
yp(t) = e^t (A cos(t) + B sin(t))
onde A e B são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de yp(t):
yp'(t) = e^t (A cos(t) + B sin(t)) + e^t (-A sin(t) + B cos(t)) = e^t [(A + B) cos(t) + (B - A) sin(t)]
yp''(t) = e^t [(A + B) cos(t) + (B - A) sin(t)] + e^t [-(A + B) sin(t) + (B - A) cos(t)] = e^t [(A + B + B - A) cos(t) + (B - A - A - B) sin(t)] = e^t [2B cos(t) - 2A sin(t)]

Passo 7

Substituindo yp(t), yp'(t) e yp''(t) na equação original:
yp'' - 2yp' = e^t [2B cos(t) - 2A sin(t)] - 2 e^t [(A + B) cos(t) + (B - A) sin(t)] = e^t [2B cos(t) - 2A sin(t) - 2A cos(t) - 2B sin(t)] = e^t [(2B - 2A) cos(t) + (-2A - 2B) sin(t)]
Essa expressão deve ser igual a e^t cos(t), então temos:
(2B - 2A) cos(t) + (-2A - 2B) sin(t) = cos(t)

Passo 8

Comparando os coeficientes das funções cos(t) e sin(t), obtemos o sistema de equações:
2B - 2A = 1 -2A - 2B = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar A e B.

Passo 9

Da segunda equação:
-2A - 2B = 0 -2A = 2B A = -B
Substituindo A = -B na primeira equação:
2B - 2(-B) = 1 2B + 2B = 1 4B = 1 B = 14
Então, A = -14.

Passo 10

Agora que temos A e B, a solução particular é:
yp(t) = e^t ( -14 cos(t) + 14 sin(t) ) = e^t4 ( -cos(t) + sin(t) )

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 e^2t + e^t4 ( -cos(t) + sin(t) )

Resposta

A solução geral da equação diferencial y'' - 2y' = e^t cos(t) é:
y(t) = C1 + C2 e^2t + e^t4 ( -cos(t) + sin(t) )
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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