Determine se as funções abaixo são soluções da equação de Laplace ux x-uy y=0.
u=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,y)=x^2+y^2
e pede para verificar se ela satisfaz a equação de Laplace modificada
uxx-uyy=0
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem uxx e uyy.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x:
ux = partialpartial xl(x^2+y^2r) = 2x
Em seguida, derivar novamente para obter
uxx = partialpartial x(2x) = 2

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a y:
uy = partialpartial yl(x^2+y^2r) = 2y
Em seguida, derivar novamente para obter
uyy = partialpartial y(2y) = 2

Passo 4

Substituir uxx e uyy na equação uxx-uyy=0:
uxx-uyy = 2 - 2 = 0
Como a expressão fica identicamente zero, a equação é satisfeita.

Resposta

A função u(x,y)=x^2+y^2 é solução da equação uxx-uyy=0.

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