Determine as derivadas panciais das funceés: rho=e^-theta cos thetavarphi

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais da função
rho(theta,varphi)=e^-thetacos!l(tfracthetavarphir).
Como ela é produto de e^-theta por cos(theta/varphi), vamos aplicar a regra do produto e, em seguida, a regra da cadeia.

Passo 2

Para obter partial rhopartial theta, tratamos varphi como constante e fazemos:
partial rhopartial theta = partialpartial thetal(e^-thetar),cos!l(tfracthetavarphir) + e^-theta,partialpartial theta!l[cos!l(tfracthetavarphir)r]
Agora,
partialpartial thetal(e^-thetar) = -e^-theta, partialpartial theta!l[cos!l(tfracthetavarphir)r] = -sin!l(tfracthetavarphir)cdot1varphi
Logo,
partial rhopartial theta = -e^-thetacos!l(tfracthetavarphir) - e^-thetavarphi,sin!l(tfracthetavarphir)

Passo 3

Para obter partial rhopartial varphi, tratamos theta como constante e só diferenciamos cos(theta/varphi):
partial rhopartial varphi = e^-theta,partialpartial varphi!l[cos!l(tfracthetavarphir)r] = e^-theta,l(-sin!l(tfracthetavarphir)r) cdotpartialpartial varphi!l(tfracthetavarphir)
Como
partialpartial varphi!l(tfracthetavarphir) = thetacdotpartialpartial varphi(varphi^-1) = -,thetavarphi^2,
temos
partial rhopartial varphi = e^-theta,l(-sin(tfracthetavarphi)r), l(-tfracthetavarphi^2r) = theta,e^-thetavarphi^2, sin!l(tfracthetavarphir)

Resposta

partial rhopartial theta = -e^-thetacos!l(tfracthetavarphir) - e^-thetavarphi,sin!l(tfracthetavarphir), partial rhopartial varphi = theta,e^-thetavarphi^2, sin!l(tfracthetavarphir)

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