Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2 qd t^2+R d qd t+1C q=E(t)
Quando há uma voltagem impressa E(t) no circuito, as vibrações elétricas são chamadas de forçadas. No caso em que R neq 0, a função complementar qc(t) é chamada de solução transiente. Se E(t) for periódica ou constante, então a solução particular qp(t) será uma solução estacionária.
Encontre a carga estacionária em um circuito em série RLC quando L=1 hanry, R=2 ohms, C=0,25 farad e E(t)=50 cos (t) volts.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um circuito RLC em série, que é basicamente um circuito com uma resistência ( R), uma indutância ( L) e um capacitor ( C) todos ligados de série. A gente quer descobrir qual é a carga estacionária no capacitor quando aplicamos uma voltagem que varia no tempo, especificamente E(t) = 50 cos(t) volts. Os valores dados são: L = 1 henry, R = 2 ohms, e C = 0,25 farad.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação que descreve a carga no capacitor nesse tipo de circuito. A equação diferencial dada é:
L d^2 qd t^2 + R d qd t + 1C q = E(t)
Aqui, q(t) é a carga no capacitor em qualquer instante t, e E(t) é a voltagem aplicada no circuito.

Passo 3

Nos circuitos RLC quando a voltagem aplicada é uma função periódica, como o cosseno aqui, a solução da carga q(t) pode ser dividida em duas partes:
  1. Solução Complementar ( qc(t)): Essa parte está relacionada à resposta natural do circuito e geralmente decai com o tempo se o circuito é dissipativo (o que é o caso aqui, já que R neq 0).
  2. Solução Particular ( qp(t)): Essa é a parte que permanece no estado estacionário após o tempo suficientemente grande, ou seja, a resposta permanente do circuito à voltagem aplicada.
Nos interessa a carga estacionária, que é justamente a solução particular qp(t).

Passo 4

Para encontrar a solução particular qp(t), assumimos que ela tem a mesma forma da voltagem aplicada, que nesse caso é uma função cosseno. Então, vamos supor que:
qp(t) = Q cos(t) + P sin(t)
Onde Q e P são constantes que precisam ser determinadas.

Passo 5

Agora, vamos derivar qp(t) para substituir na equação diferencial. As derivadas serão:
dqpdt = -Q sin(t) + P cos(t)
d^2 qpdt^2 = -Q cos(t) - P sin(t)

Passo 6

Substituindo essas expressões na equação diferencial original:
L ( -Q cos(t) - P sin(t) ) + R ( -Q sin(t) + P cos(t) ) + 1C ( Q cos(t) + P sin(t) ) = 50 cos(t)

Passo 7

Vamos distribuir os termos:
- L Q cos(t) - L P sin(t) - R Q sin(t) + R P cos(t) + QC cos(t) + PC sin(t) = 50 cos(t)

Passo 8

Agora, agrupamos os termos em cos(t) e sin(t):
Para cos(t):
(-L Q + R P + QC) cos(t)
Para sin(t):
(-L P - R Q + PC) sin(t)
Igualando aos lados da equação:
(-L Q + R P + QC) cos(t) + (-L P - R Q + PC) sin(t) = 50 cos(t) + 0 sin(t)

Passo 9

Isso nos leva a um sistema de equações para os coeficientes de cos(t) e sin(t):
-L Q + R P + QC = 50 -L P - R Q + PC = 0

Passo 10

Vamos substituir os valores dados: L = 1 H, R = 2 Ω, C = 0,25 F:
Para a primeira equação:
-1 cdot Q + 2 cdot P + Q0,25 = 50 - Q + 2P + 4Q = 50 3Q + 2P = 50
Para a segunda equação:
-1 cdot P - 2 cdot Q + P0,25 = 0 - P - 2Q + 4P = 0 3P - 2Q = 0

Passo 11

Temos o sistema:
3Q + 2P = 50 3P - 2Q = 0
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
3P = 2Q P = 23 Q

Passo 12

Substituindo P = 23 Q na primeira equação:
3Q + 2 ( 23 Q ) = 50 3Q + 43 Q = 50 133 Q = 50 Q = 50 cdot 313 Q approx 11,54

Passo 13

Agora, encontramos P:
P = 23 cdot 11,54 approx 7,69

Passo 14

Então, a solução particular é:
qp(t) = 11,54 cos(t) + 7,69 sin(t)

Passo 15

Para simplificar, podemos escrever essa expressão como uma única função cosseno com fase, usando a identidade trigonométrica:
qp(t) = Q' cos(t - phi)
Onde:
Q' = raizQ^2 + P^2 phi = arctan(PQ)

Passo 16

Calculando Q':
Q' = raiz11,54^2 + 7,69^2 approx raiz133,07 + 59,05 approx raiz192,12 approx 13,86
Calculando phi:
phi = arctan(7,6911,54) approx arctan(0,666) approx 33,69^circ

Resposta

A carga estacionária no capacitor é aproximadamente
qp(t) approx 13,86 cos(t - 33,69^circ) coulombs

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