Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão
, uma resistência
, uma bobine com indutância
e um condensador com capacitância
, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador
é tal que
Quando há uma voltagem impressa
no circuito, as vibrações elétricas são chamadas de forçadas. No caso em que
, a função complementar
é chamada de solução transiente. Se
for periódica ou constante, então a solução particular
será uma solução estacionária.
Encontre a carga estacionária em um circuito em série RLC quando
hanry,
ohms,
farad e
volts.
Encontre a carga estacionária em um circuito em série RLC quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um circuito RLC em série, que é basicamente um circuito com uma resistência (
), uma indutância (
) e um capacitor (
) todos ligados de série. A gente quer descobrir qual é a carga estacionária no capacitor quando aplicamos uma voltagem que varia no tempo, especificamente
volts. Os valores dados são:
henry,
ohms, e
farad.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação que descreve a carga no capacitor nesse tipo de circuito. A equação diferencial dada é:
Aqui,
é a carga no capacitor em qualquer instante
, e
é a voltagem aplicada no circuito.
Passo 3
Nos circuitos RLC quando a voltagem aplicada é uma função periódica, como o cosseno aqui, a solução da carga
pode ser dividida em duas partes:
- Solução Complementar (
): Essa parte está relacionada à resposta natural do circuito e geralmente decai com o tempo se o circuito é dissipativo (o que é o caso aqui, já que ). - Solução Particular (
): Essa é a parte que permanece no estado estacionário após o tempo suficientemente grande, ou seja, a resposta permanente do circuito à voltagem aplicada.
Nos interessa a carga estacionária, que é justamente a solução particular
.
Passo 4
Para encontrar a solução particular
, assumimos que ela tem a mesma forma da voltagem aplicada, que nesse caso é uma função cosseno. Então, vamos supor que:
Onde
e
são constantes que precisam ser determinadas.
Passo 5
Agora, vamos derivar
para substituir na equação diferencial. As derivadas serão:
Passo 6
Substituindo essas expressões na equação diferencial original:
Passo 7
Vamos distribuir os termos:
Passo 8
Agora, agrupamos os termos em
e
:
Para
:
Para
:
Igualando aos lados da equação:
Passo 9
Isso nos leva a um sistema de equações para os coeficientes de
e
:
Passo 10
Vamos substituir os valores dados:
H,
Ω,
F:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Passo 11
Temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
Passo 12
Substituindo
na primeira equação:
Passo 13
Agora, encontramos
:
Passo 14
Então, a solução particular é:
Passo 15
Para simplificar, podemos escrever essa expressão como uma única função cosseno com fase, usando a identidade trigonométrica:
Onde:
Passo 16
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
A carga estacionária no capacitor é aproximadamente