A natureza das soluções de um sistema de EDOs autônomo e homogêneo se relaciona com a natureza dos autovalores da matriz associada ao sistema. Podemos ter: Dois autovalores reais e distintos com sinais contrários, dois autovalores reais e distintos com sinais iguais, dois autovalores reais e iguais, ou ainda dois autovalores complexos conjugados. Cada um destes tipos nos leva a soluções com comportamentos qualitativos diferentes.
Com base nisso, analise os valores de
para os quais temos as características apontadas para os autovalores, e indique os valores críticos de
para os quais ocorre uma mudança nestas características.
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Com base nisso, analise os valores de
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Passo 1
A gente tem o sistema
com
O conteúdo aqui é classificação qualitativa via autovalores. Vamos precisar da traça, do determinante e do discriminante da equação característica.
Passo 2
Escrevendo o polinômio característico:
Os autovalores são
Passo 3
Calculando o discriminante:
Logo, os autovalores são sempre reais e distintos, e nunca se igualam nem formam par complexo.
Passo 4
Como produto dos autovalores temos
Se
Passo 5
Não há
que torne
, então não há autovalores reais iguais, e como
sempre, também não surgem autovalores complexos. O valor crítico onde muda o tipo qualitativo é
, pois aí
e um autovalor passa por zero.
Resposta
Para
: dois autovalores reais e distintos de sinais contrários (sela). Para
: dois autovalores reais e distintos, mesmos sinais positivos (nó instável). Não há valores de
que produzam autovalores iguais ou complexos. Valor crítico:
.