A natureza das soluções de um sistema de EDOs autônomo e homogêneo se relaciona com a natureza dos autovalores da matriz associada ao sistema. Podemos ter: Dois autovalores reais e distintos com sinais contrários, dois autovalores reais e distintos com sinais iguais, dois autovalores reais e iguais, ou ainda dois autovalores complexos conjugados. Cada um destes tipos nos leva a soluções com comportamentos qualitativos diferentes.
Com base nisso, analise os valores de alpha para os quais temos as características apontadas para os autovalores, e indique os valores críticos de alpha para os quais ocorre uma mudança nestas características.
© Y^prime=(ll1 & 2 3 & alpha) Y

Passo 1

A gente tem o sistema Y' = A Y com
A = 1 & 23 & alpha
O conteúdo aqui é classificação qualitativa via autovalores. Vamos precisar da traça, do determinante e do discriminante da equação característica.

Passo 2

Escrevendo o polinômio característico:
det(A - lambda I) = lambda^2 - (1+alpha)lambda + (alpha - 6) = 0
Os autovalores são
lambda1,2 = 1+alpha pm raiz(1+alpha)^2 - 4(alpha - 6)2

Passo 3

Calculando o discriminante:
De 0 para todo alpha
Logo, os autovalores são sempre reais e distintos, e nunca se igualam nem formam par complexo.

Passo 4

Como produto dos autovalores temos
lambda1lambda2 = det(A) = alpha - 6
Se alpha < 6 então det(A)<0 e os sinais dos autovalores são opostos (sela). Se alpha>6 então det(A)>0 e os dois têm mesmo sinal. Além disso, para alpha>6, a traça 1+alpha>0 implica ambos positivos (nó instável).

Passo 5

Não há alpha que torne De, então não há autovalores reais iguais, e como De0 sempre, também não surgem autovalores complexos. O valor crítico onde muda o tipo qualitativo é alpha=6, pois aí det(A)=0 e um autovalor passa por zero.

Resposta

Para alpha<6: dois autovalores reais e distintos de sinais contrários (sela). Para alpha>6: dois autovalores reais e distintos, mesmos sinais positivos (nó instável). Não há valores de alpha que produzam autovalores iguais ou complexos. Valor crítico: alpha=6.

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