Considere o circuito elétrico RC com um resistor de resistência R (em Omega) e um capacitor de capacitância C (em F). A carga no capacitor q(t) é descrita pela equação:
q(t)=Q(1-e^-t /(R C))
onde Q é a carga máxima (C), t é o tempo (s), e R e C são constantes do circuito.
Deseja-se determinar o tempo t necessário para que a carga no capacitor atinja 90% de sua carga máxima, ou seja, encontrar t tal que:
f(t)=Q(1-e^-t /(R C))-0.9 Q=0
Utilize os métodos da bisseção e de Newton para resolver o problema, assumindo R=1000 Omega e C=0.001 F.
Defina os extremos iniciais do intervalo [a, b] e a precisão desejada epsilon.
Aplique iterativamente a fórmula:
c=a+b2
avaliando f(c) e ajustando o intervalo conforme f(a) f(c)<0 ou f(c) f(b)<0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito RC com um resistor de resistência R = 1000 , Omega e um capacitor de capacitância C = 0.001 , F . A carga no capacitor é dada por:
q(t) = Q(1 - e^-t/(RC))
Queremos descobrir quanto tempo t leva para a carga no capacitor atingir 90% da carga máxima Q . Para isso, vamos usar dois métodos: o método da bisseção e o método de Newton. Vamos precisar entender um pouco sobre funções, iteração e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos configurar a equação que precisamos resolver. Queremos que q(t) = 0.9Q , então:
0.9Q = Q(1 - e^-t/(RC))
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por Q :
0.9 = 1 - e^-t/(RC)
Isolando o termo exponencial:
e^-t/(RC) = 0.1
Para resolver essa equação para t , precisamos de métodos numéricos, já que ela envolve uma função exponencial.

Passo 3

Vamos definir a função que queremos encontrar a raiz:
f(t) = Q(1 - e^-t/(RC)) - 0.9Q = 0
Simplificando:
f(t) = 1 - e^-t/(RC) - 0.9 = 0
Então:
f(t) = 0.1 - e^-t/(RC) = 0
Nosso objetivo é achar o valor de t que faz f(t) = 0 .

Passo 4

Método da Bisseção

Passo 5

Vamos escolher a = 0 (tempo inicial) e b = 5RC como uma estimativa inicial. A precisão desejada será epsilon = 0.001 .

Passo 6

  1. Calculamos c = a + b2 .
  2. Avaliamos f(c) .
  3. Verificamos o sinal de f(a) times f(c) :
    • Se for negativo, a raiz está entre a e c , então definimos b = c .
    • Se for positivo, a raiz está entre c e b , então definimos a = c .
  4. Repetimos até que |b - a| < epsilon .

Passo 7

Vamos calcular algumas iterações:
  • Iteração 1:
    • a = 0 , b = 5RC = 5 times 1000 times 0.001 = 5 segundos.
    • c = 0 + 52 = 2.5 s.
    • f(2.5) = 0.1 - e^-2.5/(1) = 0.1 - e^-2.5 approx 0.1 - 0.0821 = 0.0179 .
    • f(a) = f(0) = 0.1 - 1 = -0.9 .
    • f(a) times f(c) = -0.9 times 0.0179 < 0 , então a raiz está entre 0 e 2.5 .
    • Atualizamos b = 2.5 .
  • Iteração 2:
    • a = 0 , b = 2.5 .
    • c = 1.25 s.
    • f(1.25) = 0.1 - e^-1.25 approx 0.1 - 0.2865 = -0.1865 .
    • f(a) times f(c) = -0.9 times (-0.1865) > 0 , então a raiz está entre 1.25 e 2.5 .
    • Atualizamos a = 1.25 .
  • Iteração 3:
    • a = 1.25 , b = 2.5 .
    • c = 1.875 s.
    • f(1.875) = 0.1 - e^-1.875 approx 0.1 - 0.1534 = -0.0534 .
    • f(a) times f(c) = -0.1865 times (-0.0534) > 0 , então a raiz está entre 1.875 e 2.5 .
    • Atualizamos a = 1.875 .
  • Iteração 4:
    • a = 1.875 , b = 2.5 .
    • c = 2.1875 s.
    • f(2.1875) = 0.1 - e^-2.1875 approx 0.1 - 0.1123 = -0.0123 .
    • f(a) times f(c) = -0.0534 times (-0.0123) > 0 , então a raiz está entre 2.1875 e 2.5 .
    • Atualizamos a = 2.1875 .
  • Iteração 5:
    • a = 2.1875 , b = 2.5 .
    • c = 2.34375 s.
    • f(2.34375) = 0.1 - e^-2.34375 approx 0.1 - 0.0965 = 0.0035 .
    • f(a) times f(c) = -0.0123 times 0.0035 < 0 , então a raiz está entre 2.1875 e 2.34375 .
    • Atualizamos b = 2.34375 .
Continuamos esse processo até que a diferença entre a e b seja menor que 0.001 segundos.

Passo 8

Método de Newton

Passo 9

Já temos:
f(t) = 0.1 - e^-t/(RC)
A derivada de f(t) em relação a t é:
f'(t) = 1RC e^-t/(RC)

Passo 10

Vamos escolher t0 = 2 segundos como ponto de partida.

Passo 11

A fórmula é:
tn+1 = tn - f(tn)f'(tn)

Passo 12

  • Iteração 1:
    • t0 = 2 s.
    • f(2) = 0.1 - e^-2 approx 0.1 - 0.1353 = -0.0353 .
    • f'(2) = 11 e^-2 approx 0.1353 .
    • t1 = 2 - (-0.0353)/0.1353 approx 2 + 0.261 = 2.261 s.
  • Iteração 2:
    • t1 = 2.261 s.
    • f(2.261) = 0.1 - e^-2.261 approx 0.1 - 0.1043 = -0.0043 .
    • f'(2.261) = e^-2.261 approx 0.1043 .
    • t2 = 2.261 - (-0.0043)/0.1043 approx 2.261 + 0.0413 = 2.3023 s.
  • Iteração 3:
    • t2 = 2.3023 s.
    • f(2.3023) = 0.1 - e^-2.3023 approx 0.1 - 0.1000 = 0.0 .
    • Como f(t2) está praticamente zero, paramos aqui.

Resposta

O tempo necessário para que a carga no capacitor atinja 90% da carga máxima é aproximadamente t = 2.303 segundos.

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