Considere o circuito elétrico RC com um resistor de resistência
(em
) e um capacitor de capacitância
(em F). A carga no capacitor
é descrita pela equação:
onde
é a carga máxima (C),
é o tempo (s), e
e
são constantes do circuito.
Deseja-se determinar o tempo
necessário para que a carga no capacitor atinja
de sua carga máxima, ou seja, encontrar
tal que:
Utilize os métodos da bisseção e de Newton para resolver o problema, assumindo
e
.
Defina os extremos iniciais do intervalo
e a precisão desejada
.
Aplique iterativamente a fórmula:
avaliando
e ajustando o intervalo conforme
ou
.
Deseja-se determinar o tempo
Defina os extremos iniciais do intervalo
Aplique iterativamente a fórmula:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um circuito RC com um resistor de resistência
e um capacitor de capacitância
. A carga no capacitor é dada por:
Queremos descobrir quanto tempo
leva para a carga no capacitor atingir
da carga máxima
. Para isso, vamos usar dois métodos: o método da bisseção e o método de Newton. Vamos precisar entender um pouco sobre funções, iteração e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos configurar a equação que precisamos resolver. Queremos que
, então:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Isolando o termo exponencial:
Para resolver essa equação para
, precisamos de métodos numéricos, já que ela envolve uma função exponencial.
Passo 3
Vamos definir a função que queremos encontrar a raiz:
Simplificando:
Então:
Nosso objetivo é achar o valor de
que faz
.
Passo 4
Método da Bisseção
Passo 5
Vamos escolher
(tempo inicial) e
como uma estimativa inicial. A precisão desejada será
.
Passo 6
- Calculamos
. - Avaliamos
. - Verificamos o sinal de
: - Se for negativo, a raiz está entre
e , então definimos . - Se for positivo, a raiz está entre
e , então definimos .
- Se for negativo, a raiz está entre
- Repetimos até que
.
Passo 7
Vamos calcular algumas iterações:
-
Iteração 1:
-
, segundos. -
s. -
. -
. -
, então a raiz está entre e . - Atualizamos
.
-
-
Iteração 2:
-
, . -
s. -
. -
, então a raiz está entre e . - Atualizamos
.
-
-
Iteração 3:
-
, . -
s. -
. -
, então a raiz está entre e . - Atualizamos
.
-
-
Iteração 4:
-
, . -
s. -
. -
, então a raiz está entre e . - Atualizamos
.
-
-
Iteração 5:
-
, . -
s. -
. -
, então a raiz está entre e . - Atualizamos
.
-
Continuamos esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
segundos.
Passo 8
Método de Newton
Passo 9
Já temos:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 10
Vamos escolher
segundos como ponto de partida.
Passo 11
A fórmula é:
Passo 12
-
Iteração 1:
-
s. -
. -
. -
s.
-
-
Iteração 2:
-
s. -
. -
. -
s.
-
-
Iteração 3:
-
s. -
. - Como
está praticamente zero, paramos aqui.
-
Resposta
O tempo necessário para que a carga no capacitor atinja
da carga máxima é aproximadamente
segundos.