Considere um circuito elétrico em série
com
(henries),
(farads) e bateria fornecendo
(volts). Suponha que o circuito está inicialmente passivo (desligado e sem carga). No instante
o interruptor é fechado, e no instante
ele é aberto e deixado aberto.
Mostre que este circuito satisfaz o problema de valor inicial
Mostre que este circuito satisfaz o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado descreve um circuito série com indutor de
, capacitor de
e uma fonte de tensão que é ligada em
e desligada em
. Queremos derivar a equação diferencial para a carga
no capacitor. O conteúdo usado será a relação
e a Lei de Kirchhoff das tensões num circuito série.
Passo 2
Definimos a corrente no circuito por
pois a corrente é a taxa de variação da carga no capacitor. As condições iniciais, por o circuito estar sem carga e sem corrente em
, são
Passo 3
Pela Lei de Kirchhoff, a soma das tensões no indutor e no capacitor é igual à tensão da fonte
. Temos
Como
e
, obtemos
Passo 4
Substituindo
nessa relação,
A fonte é ligada em
(subindo para
) e desligada em
, o que corresponde à função de entrada
onde
é o degrau unitário e
.
Passo 5
Por fim, substituindo
e
(logo
) e a forma de
, obtemos o problema de valor inicial
com as condições
Resposta
O circuito satisfaz