Considere um circuito elétrico em série L C com L=1 H (henries), C=0.01 F (farads) e bateria fornecendo E=10 V (volts). Suponha que o circuito está inicialmente passivo (desligado e sem carga). No instante t=0 o interruptor é fechado, e no instante t=1 ele é aberto e deixado aberto.
Mostre que este circuito satisfaz o problema de valor inicial
c Q^prime prime+100 Q=10-10 u1(t) Q(0)=0=Q^prime(0)

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série com indutor de L=1 H, capacitor de C=0,01 F e uma fonte de tensão que é ligada em t=0 e desligada em t=1. Queremos derivar a equação diferencial para a carga Q(t) no capacitor. O conteúdo usado será a relação I(t)=Q'(t) e a Lei de Kirchhoff das tensões num circuito série.

Passo 2

Definimos a corrente no circuito por
I(t)=Q'(t),
pois a corrente é a taxa de variação da carga no capacitor. As condições iniciais, por o circuito estar sem carga e sem corrente em t=0, são
Q(0)=0, Q'(0)=0

Passo 3

Pela Lei de Kirchhoff, a soma das tensões no indutor e no capacitor é igual à tensão da fonte E(t). Temos
vL + vC = E(t)
Como vL=L,dIdt e vC=QC, obtemos
L,dIdt + QC = E(t)

Passo 4

Substituindo I=Q' nessa relação,
L,Q'' + QC = E(t)
A fonte é ligada em t=0 (subindo para 10 V) e desligada em t=1, o que corresponde à função de entrada
E(t)=10,u(t)-10,u(t-1)=10-10,u1(t),
onde u(t) é o degrau unitário e u1(t)=u(t-1).

Passo 5

Por fim, substituindo L=1 e C=0,01 (logo 1/C=100) e a forma de E(t), obtemos o problema de valor inicial
Q'' +100,Q =10-10,u1(t),
com as condições
Q(0)=0, Q'(0)=0

Resposta

O circuito satisfaz
Q'' + 100,Q = 10 - 10,u1(t), Q(0)=0,;Q'(0)=0

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