A equação
onde as funções
e
são contínuas em algum intervalo I da reta e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Os itens abaixo dão as diretrizes para se resolver uma equação de Ricatti geral.
Seja
uma solução particular de (2). Considere a mudança de variável
. Mostre que essa mudança de variável transforma (2) numa equação de primeira ordem linear em
.
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
onde
, e nos diz que
é uma solução particular. Queremos mostrar que, fazendo
a equação resultante em
é uma equação linear de primeira ordem.
Passo 2
Calculemos
em função de
. Como
temos
Passo 3
Substituindo
e
na equação original obtemos
Passo 4
Como
é solução particular, ela satisfaz
Subtraindo esta linha da substituição do passo anterior, cancelam-se
,
e
, sobrando
Passo 5
Multiplicando tudo por
dá
Esta é exatamente uma equação linear de primeira ordem em
.
Resposta
A mudança de variável
transforma a Riccati
na equação linear de primeira ordem