A equação
y^prime+P(t) y+Q(t) y^2=R(t)
onde as funções P, Q e R são contínuas em algum intervalo I da reta e Q(t) neq 0 em I, é conhecida como equação de Ricatti. Os itens abaixo dão as diretrizes para se resolver uma equação de Ricatti geral.
Seja phi(t) uma solução particular de (2). Considere a mudança de variável y=phi+1z. Mostre que essa mudança de variável transforma (2) numa equação de primeira ordem linear em z.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
y^prime+P(t),y+Q(t),y^2=R(t)
onde Q(t)neq0, e nos diz que phi(t) é uma solução particular. Queremos mostrar que, fazendo
y = phi + 1z,
a equação resultante em z é uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Calculemos y^prime em função de z. Como
y = phi + 1z,
temos
y^prime = phi^prime - z^primez^2

Passo 3

Substituindo y e y^prime na equação original obtemos
phi^prime - z^primez^2 +Pl(phi+1zr) +Ql(phi+1zr)^2 =R

Passo 4

Como phi é solução particular, ela satisfaz
phi^prime+P,phi+Q,phi^2=R
Subtraindo esta linha da substituição do passo anterior, cancelam-se phi^prime, Pphi e Qphi^2, sobrando
-z^primez^2 +Pz +2Q,phiz +Qz^2 =0

Passo 5

Multiplicando tudo por z^2
-,z^prime + (P+2Q,phi),z + Q = 0 Longrightarrow z^prime - (P+2Q,phi),z = Q
Esta é exatamente uma equação linear de primeira ordem em z.

Resposta

A mudança de variável
y=phi+1z
transforma a Riccati
y^prime+P,y+Q,y^2=R
na equação linear de primeira ordem
z^prime - l(P(t)+2,Q(t),phi(t)r),z = Q(t)

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