Considere um circuito elétrico em série L C com L=1 H (henries), C=0.01 F (farads) e bateria fornecendo E=10 V (volts). Suponha que o circuito está inicialmente passivo (desligado e sem carga). No instante t=0 o interruptor é fechado, e no instante t=1 ele é aberto e deixado aberto.
(b) Encontre a corrente I(t)=d Qd t no circuito no instante t.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série L!-!C com L=1,H, C=0,01,F e fonte E=10,V. O circuito fica sem carga e sem corrente para t<0. Em t=0 o interruptor fecha; em t=1 ele abre e permanece aberto. A tarefa é achar a corrente I(t)=tfracdQdt em todo o intervalo de tempo.

Passo 2

Pela segunda lei de Kirchhoff temos
LdIdt+QC=E
Como I=dQdt, L=1 e C=0,01, obtemos
d^2Qdt^2+100,Q=10

Passo 3

Para 0<= t<=1 o circuito está forçado pela fonte. A solução geral é
Q(t)=Qp+Qh
com particular Qp=E,C=10cdot0,01=0,1 e homogênea
Qh=Acos(10t)+Bsin(10t)
Impondo Q(0)=0Rightarrow0,1+A=0Rightarrow A=-0,1 e I(0)=Q'(0)=0Rightarrow10B=0Rightarrow B=0, vem
Q(t)=0,1-0,1cos(10t)
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I(t)=dQdt=sin(10t)(0<= t<=1)

Passo 4

No instante t=1 usamos
Q(1)=0,1-0,1cos(10), I(1)=sin(10)
como condições iniciais para a oscilação livre.

Passo 5

Para t>=1, não havendo fonte, a equação é
d^2Qdt^2+100,Q=0,
com solução
Q(t)=Q(1)cosl(10(t-1)r)+I(1)10sinl(10(t-1)r)
Derivando,
I(t)=dQdt=-10,Q(1)sinl(10(t-1)r)+I(1)cosl(10(t-1)r)
Substituindo Q(1) e I(1) resulta
I(t)=sin(10)cosl(10(t-1)r)+l(cos(10)-1r)sinl(10(t-1)r)(t>=1)

Resposta

I(t)= sin(10t),&0<= t<=1, sin(10)cosl(10(t-1)r)+l(cos(10)-1r)sinl(10(t-1)r),&t>=1

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