Determine a série de Taylor da função em torno do ponto determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade . em torno de .
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de
em torno de , bem como o raio de convergência dessa série e verificar se ela coincide com . Vamos usar a expansão em série de potências de , compor com , multiplicar por , aplicar o critério da razão e depois discutir a analiticidade de .
Passo 2
Começamos pela expansão conhecida de em torno de :
Passo 3
Substituindo na série de , obtemos
Passo 4
Multiplicando tudo por para obter , temos
Portanto a série de Taylor de em é
Passo 5
Para o raio de convergência aplicamos o critério da razão aos coeficientes :
Como o limite é 0<1, o raio de convergência é infinito: R=infty.
Passo 6
A função f(x)=xsen(x^2) é combinação de funções polinomiais e de sen, todas inteiras (analíticas em todo R). Logo sua série de Taylor em 0 converge para f(x) em todo R, ou seja, vale