Determine a série de Taylor Ta f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade Ta f=f.
f(x)=x sen (x^2) em torno de a=0.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de
f(x)=xsen(x^2)
em torno de a=0, bem como o raio de convergência dessa série e verificar se ela coincide com f. Vamos usar a expansão em série de potências de sen t, compor com t=x^2, multiplicar por x, aplicar o critério da razão e depois discutir a analiticidade de f.

Passo 2

Começamos pela expansão conhecida de
sen t em torno de t=0:
sen t = sumn=0^infty (-1)^n t^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Substituindo t=x^2 na série de sen t, obtemos
sen(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n (x^2)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)!

Passo 4

Multiplicando tudo por x para obter f(x)=xsen(x^2), temos
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+3(2n+1)!
Portanto a série de Taylor de f em 0 é
T0 f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+3(2n+1)!

Passo 5

Para o raio de convergência aplicamos o critério da razão aos coeficientes
an = (-1)^n(2n+1)!:
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty 1/(2n+3)!1/(2n+1)! = limntoinfty1(2n+3)(2n+2) =0
Como o limite é 0<1, o raio de convergência é infinito: R=infty.

Passo 6

A função f(x)=xsen(x^2) é combinação de funções polinomiais e de sen, todas inteiras (analíticas em todo R). Logo sua série de Taylor em 0 converge para f(x) em todo R, ou seja, vale
T0 f(x)=f(x)

Resposta

T0 f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+3(2n+1)!
R = infty
A igualdade T0 f = f vale para todo x.

Exercícios relacionados