Uma lâmina tem a forma semicircular x^2+y^2 <= a^2, com y >= 0. A densidade é diretamente proporcional à distância do eixo x. Ache o momento de inércia em relação ao eixo x.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma lâmina de formato semicircular definida por ,x^2+y^2<= a^2, y>=0, cuja densidade é proporcional à distância do eixo x, isto é, rho(x,y)=k,y. O conteúdo é cálculo de momento de inércia por integração dupla, usando coordenadas polares.

Passo 2

O momento de inércia em relação ao eixo x é dado por
Ix=integral duplaD y^2,rho(x,y),dA
e, substituindo rho(x,y)=k,y, resulta em
Ix=kintegral duplaD y^3,dA

Passo 3

Em coordenadas polares ( x=rcostheta, y=rsintheta), o domínio D é 0<= r<= a, 0<=theta<=pi e dA=r,dr,dtheta. Temos y^3=r^3sin^3theta, de modo que
Ix=kintegral0^pi!!integral0^a r^4sin^3theta,dr,dtheta =kl(integral0^a r^4,drr)l(integral0^pisin^3theta,dthetar)
Calculando as integrais,
integral0^a r^4,dr=a^55, integral0^pisin^3theta,dtheta=43,
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Ix=415,k,a^5

Passo 4

Para expressar em função da massa total M, primeiro calcule
M=integral duplaDrho,dA =kintegral0^piintegral0^a r^2sintheta,dr,dtheta =ka^33cdot2 =23k,a^3,
de onde
k=3M2a^3

Passo 5

Substituindo k em Ix=415k,a^5 obtemos
Ix=415cdot3M2a^3,a^5 =25M,a^2

Resposta

Ix=415,k,a^5 ou, em função da massa total (M), Ix=25M,a^2 çã

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