Uma lâmina tem a forma semicircular
, com
. A densidade é diretamente proporcional à distância do eixo
. Ache o momento de inércia em relação ao eixo
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma lâmina de formato semicircular definida por
,
, cuja densidade é proporcional à distância do eixo
, isto é,
. O conteúdo é cálculo de momento de inércia por integração dupla, usando coordenadas polares.
Passo 2
O momento de inércia em relação ao eixo
é dado por
e, substituindo
, resulta em
Passo 3
Em coordenadas polares (
,
), o domínio
é
,
e
. Temos
, de modo que
Calculando as integrais,
logo
Passo 4
Para expressar em função da massa total
, primeiro calcule
de onde
Passo 5
Substituindo
em
obtemos