Questão 2. Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
L d yd t+R y=E, y(0)= y0 ; L, R, E constantes

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Ldydt + R,y = E, y(0)=y0,
onde L, R e E são constantes. O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
dydt + RL,y = EL
O fator integrante é
mu(t) = expl(integral RL,dtr) = e^RLt
Multiplicando toda a equação por mu(t), obtemos
e^RLtdydt + RL,e^RLty = ELe^RLt,
que reconhecemos como
ddtl(e^RLtyr) = ELe^RLt

Passo 3

Integramos ambos os lados em t:
e^RLty = integral EL e^RLt,dt + C = ERe^RLt + C,
onde C é constante de integração. Então a solução geral é
y(t) = ER + C,e^-RLt

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=y0, temos
y0 = ER + Ccdot e^0 Longrightarrow C = y0 - ER
Logo a solução particular do PVI é
y(t) = ER + l(y0 - ERr)e^-RLt

Passo 5

Como os coeficientes da equação são constantes e contínuos para todo tinR, a solução está definida em todo o eixo real. Portanto, o maior intervalo de definição é (-infty,infty).

Resposta

y(t) = ER + l(y0 - ERr)e^-RLt, tin(-infty,infty)

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