Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
y^prime prime+y=raiz2 sin (raiz2 t) ; y(0)=10, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no seu exercício! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais:
y'' + y = raiz2 sin(raiz2 t), y(0)=10, y'(0)=0
Aqui, vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse problema. Para isso, precisamos entender como aplicar a transformada às derivadas e lidar com funções trigonométricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. A Transformada de Laplace de y'' é:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E a Transformada de Laplace de y é simplesmente Y(s) . Então, aplicando na equação:
s^2 Y(s) - s cdot 10 - 0 + Y(s) = Lraiz2 sin(raiz2 t)

Passo 3

Vamos simplificar a equação que temos:
(s^2 + 1) Y(s) - 10s = Lraiz2 sin(raiz2 t)
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace do lado direito. Sabemos que:
Lsin(at) = as^2 + a^2
Aplicando isso para a = raiz2 :
Lraiz2 sin(raiz2 t) = raiz2 cdot raiz2s^2 + 2 = 2s^2 + 2

Passo 4

Substituindo de volta na nossa equação, temos:
(s^2 + 1) Y(s) - 10s = 2s^2 + 2
Vamos isolar Y(s) :
Y(s) = 10ss^2 + 1 + 2(s^2 + 1)(s^2 + 2)

Passo 5

Agora, precisamos simplificar [Y(s)) para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace inversa. Vamos decompôr a fração em partes:
Multiplicando ambos os lados por :
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema, encontramos .

Passo 6

Substituindo os valores de A e B na decomposição, temos:
2(s^2 + 1)(s^2 + 2) = 2s^2 + 1 - 2s^2 + 2
Então, a expressão para Y(s) fica:
Y(s) = 10ss^2 + 1 + 2s^2 + 1 - 2s^2 + 2

Passo 7

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar y(t) . Sabemos que:
L^-1ss^2 + a^2 = cos(at)
L^-11s^2 + a^2 = sin(at)a
Aplicando isso na nossa expressão:
y(t) &= 10 L^-1ss^2 + 1 + 2 L^-11s^2 + 1 - 2 L^-11s^2 + 2 &= 10 cos(t) + 2 sin(t) - 2raiz2 sin(raiz2 t) &= 10 cos(t) + 2 sin(t) - raiz2 sin(raiz2 t)

Resposta

y(t) = 10 cos(t) + 2 sin(t) - raiz2 sin(raiz2 t)

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