Use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no seu exercício! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais:
Aqui, vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse problema. Para isso, precisamos entender como aplicar a transformada às derivadas e lidar com funções trigonométricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. A Transformada de Laplace de é:
E a Transformada de Laplace de é simplesmente . Então, aplicando na equação:
Passo 3
Vamos simplificar a equação que temos:
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace do lado direito. Sabemos que:
Aplicando isso para :
Passo 4
Substituindo de volta na nossa equação, temos:
Vamos isolar :
Passo 5
Agora, precisamos simplificar [Y(s)) para facilitar a aplicação da Transformada de Laplace inversa. Vamos decompôr a fração em partes:
Multiplicando ambos os lados por :
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema, encontramos .
Passo 6
Substituindo os valores de A e B na decomposição, temos:
2(s^2 + 1)(s^2 + 2) = 2s^2 + 1 - 2s^2 + 2
Então, a expressão para Y(s) fica:
Y(s) = 10ss^2 + 1 + 2s^2 + 1 - 2s^2 + 2
Passo 7
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar y(t) . Sabemos que: