Considere ųm circuito LC oscilante ideal. A equação diferencial que descreve as oscilações é dada por d^2 q / d t^2+omega^2 q=0. Considere como solução desta equação a função q(t)=Q sen(omega t+varphi), com as condições iniciais q(0)=q0 e i(0)=i0. a) Encontre as expressões para a amplitude de carga Q e constante de fase varphi em função das constantes omega, q0 e i0(1,0). b) Suponha que L=20 mH eC=10 mu F, e que no instante t=0, a corrente vale 10 mA , a carga no capacitor é 2 mu C e o capacitor está sendo carregado. Calcule: (b) o àngulo de fase inicial varphi, a amplitude carga Q e a amplitude de corrente ( 1,0 ) e c) a energia total neste circuito ( 0,5 ).

Passo 1

O enunciado trata de um circuito LC ideal cujas oscilações satisfazem a equação diferencial
d^2 qdt^2 + omega^2 q = 0
A solução proposta é
q(t) = Q sinl(omega t + varphir),
com condições iniciais q(0)=q0 e i(0)=i0. Vamos primeiro achar expressões gerais para a amplitude de carga Q e a fase inicial varphi em função de omega, q0 e i0. Depois, usando L=20 mH, C=10 muF, q0=2 muC e i0=10 mA, calculamos varphi, Q, a amplitude de corrente I e a energia total do circuito.

Passo 2

Derivando q(t) obtemos a corrente
i(t)=dqdt=Q,omegacosl(omega t+varphir)
Em t=0 isso dá
q0 = Qsinvarphi, i0 = Q,omegacosvarphi

Passo 3

Para eliminar varphi usamos sin^2varphi+cos^2varphi=1, resultando em
Q^2 l(sin^2varphi+cos^2varphir) = q0^2 + l(i0/ omegar)^2,
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Q = raiz,q0^2 + l(i0/omegar)^2,
Para varphi podemos usar
tanvarphi = sinvarphicosvarphi = q0/Q,i0/(Q,omega), = omega,q0i0,
de onde
varphi = arctan!l(omega,q0 / i0r)

Passo 4

Calculamos numericamente:
omega = 1raizL,C = 1raiz20times10^-3cdot10times10^-6 approx 2236 rad/s
Então
varphi = arctan!l(2236cdot2times10^-6/10times10^-3r) approx 0,422 rad,
Q = raiz(2times10^-6)^2 + l(10times10^-3/2236r)^2 approx 4,90times10^-6 C,
e a amplitude de corrente
I = Q,omega approx 4,90times10^-6cdot2236 approx 10,95 mA

Passo 5

A energia total, constante no circuito LC ideal, é
E = Q^22C approx (4,90times10^-6)^22cdot10times10^-6 approx 1,20times10^-6 J

Resposta

(a) Q = raiz,q0^2 + l(i0/omegar)^2,, varphi = arctan!l(omega,q0 / i0r)
(b) omegaapprox2236 rad/s, varphiapprox0,422 rad, Qapprox4,90 muC, Iapprox10,95 mA.
(c) Eapprox1,20times10^-6 J

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