Verifique se os limites abaixo existem, Em caso afirmativo, encontre o limite.
(a) lim (x, y) (0,0) 2 x^2-x y-y^2x^2-y^2
(d) lim (x, y) (0,1) y^2 sin (x)x
(b) lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^4+3 y^4
(e) lim (x, y) (0,0) x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1
(c) lim (x, y) (0,0) x^3 yx^6+5 y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada um desses limites de funções de duas variáveis existe e, se existir, calculá-lo. Vamos usar conceitos de limite multivariável, teste de caminhos distintos para detectar indeterminações e, quando possível, transformar em coordenadas polares ou usar truques algébricos (como o conjugado) para encontrar o valor.

Passo 2

Para (a)
Consideramos dois caminhos: y=0 e x=0.
No caminho y=0 temos
2x^2 - xcdot0 - 0^2x^2 - 0^2 = 2x^2x^2 = 2
No caminho x=0 temos
2cdot0^2 - 0cdot y - y^20^2 - y^2 = -y^2-y^2 = 1
Como os valores 2 e 1 são diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Para (b)
Usamos o caminho y=kx. Então x→0 implica y→0 e
x^2y^2x^4 + 3y^4 = x^2 (kx)^2x^4 + 3(kx)^4 = k^2 x^4x^4 (1 + 3k^4) = k^21 + 3k^4
Esse valor depende de k (por exemplo, k=0 dá 0; k=1 dá 1/4), logo o limite não existe.

Passo 4

Para (c)
Testamos o caminho y = x^3. Assim
x^3 yx^6 + 5y^2 = x^3 cdot x^3x^6 + 5(x^3)^2 = x^6x^6 + 5x^6 = 16
Mas se escolhermos y=0 o limite seria 0. Como há caminhos que dão valores diferentes, o limite não existe.

Passo 5

Para (d)
Como (x,y)→(0,1), temos y^2→1 e reconhecemos o limite clássico
limxto0sin(x)x = 1
Logo
lim(x,y)to(0,1)y^2sin(x)x = 1cdot1 = 1

Passo 6

Para (e)
Definimos r^2= x2+y2 e reescrevemos o denominador usando o conjugado:
x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1 = r^2raiz1+r^2-1cdotraiz1+r^2+1raiz1+r^2+1 = r^2(raiz1+r^2+1)r^2 = raiz1+r^2+1
Como r→0, isso tende a 2.

Passo 7

Aqui fizemos desde testes de caminhos (para mostrar indeterminação) até truques algébricos e uso de limites univariados conhecidos.

Passo 8

Com isso chegamos aos resultados para cada item.

Resposta

(a) Não existe; (b) Não existe; (c) Não existe; (d) 1; (e) 2

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