Verifique se os limites abaixo existem, Em caso afirmativo, encontre o limite.
(a)
(d)
(b)
(e)
(c)
(a)
(d)
(b)
(e)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se cada um desses limites de funções de duas variáveis existe e, se existir, calculá-lo. Vamos usar conceitos de limite multivariável, teste de caminhos distintos para detectar indeterminações e, quando possível, transformar em coordenadas polares ou usar truques algébricos (como o conjugado) para encontrar o valor.
Passo 2
Para (a)
Consideramos dois caminhos: y=0 e x=0.
No caminho y=0 temos
Consideramos dois caminhos: y=0 e x=0.
No caminho y=0 temos
No caminho x=0 temos
Como os valores 2 e 1 são diferentes, o limite não existe.
Passo 3
Para (b)
Usamos o caminho y=kx. Então x→0 implica y→0 e
Usamos o caminho y=kx. Então x→0 implica y→0 e
Esse valor depende de k (por exemplo, k=0 dá 0; k=1 dá 1/4), logo o limite não existe.
Passo 4
Para (c)
Testamos o caminho y = x^3. Assim
Testamos o caminho y = x^3. Assim
Mas se escolhermos y=0 o limite seria 0. Como há caminhos que dão valores diferentes, o limite não existe.
Passo 5
Para (d)
Como (x,y)→(0,1), temos y^2→1 e reconhecemos o limite clássico
Como (x,y)→(0,1), temos y^2→1 e reconhecemos o limite clássico
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Passo 6
Para (e)
Definimos r^2= x2+y2 e reescrevemos o denominador usando o conjugado:
Definimos r^2= x2+y2 e reescrevemos o denominador usando o conjugado:
Como r→0, isso tende a 2.
Passo 7
Aqui fizemos desde testes de caminhos (para mostrar indeterminação) até truques algébricos e uso de limites univariados conhecidos.
Passo 8
Com isso chegamos aos resultados para cada item.
Resposta
(a) Não existe; (b) Não existe; (c) Não existe; (d) 1; (e) 2