Resolva as equaçÔes diferenciais:
(x^2+y^2) d x-2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x^2+y^2r),dx ;-;2xy,dy ;=;0
Observamos que os termos em x e y são homogêneos de grau 2. Logo, trata-se de uma equação diferencial de variáveis homogêneas. Para resolver, vamos reescrever como
dydx =x^2+y^22xy
e em seguida usar a substituição de Euler y=v,x.

Passo 2

A partir de
dydx =x^2+y^22xy,
dividimos numerador e denominador por x^2:
dydx =1 + (y/x)^22,(y/x) =1+v^22v,
onde definimos v=y/x.

Passo 3

Como y=v,x, temos
dydx =v + xdvdx
Substituindo em tfracdydx=tfrac1+v^22v fica
v + xdvdx =1+v^22v

Passo 4

Isolamos tfracdvdx e separamos variáveis:
xdvdx =1+v^22v-v =1+v^2-2v^22v =1-v^22v,
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dvdx =1-v^22v,x
Reorganizando para separar:
v1-v^2,dv =dx2x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral v1-v^2,dv =integral dx2x
No lado esquerdo, faça u=1-v^2, du=-2v,dv, então
integral v1-v^2,dv =-12integral duu =-12lnl|1-v^2r|
No lado direito:
integral dx2x =12lnl|xr| + C
Portanto
-tfrac12lnl|1-v^2r| =tfrac12lnl|xr| + C

Passo 6

Multiplique por 2 e reorganize:
-lnl|1-v^2r| =lnl|xr| + C' Longrightarrow lnl|1-v^2r| + lnl|xr| =!-!C' ;Longrightarrow; lnl|x(1-v^2)r|=const
Volte a v=y/x:
1-v^2 =1-y^2x^2 =x^2-y^2x^2,
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xl(1-v^2r) =x^2-y^2x
A solução geral implícita é
x^2-y^2x=K,
com K constante.

Resposta

x^2-y^2=C,x,
sendo C constante arbitrária.

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