Resolva as equaçÔes diferenciais:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Observamos que os termos em
e
são homogêneos de grau 2. Logo, trata-se de uma equação diferencial de variáveis homogêneas. Para resolver, vamos reescrever como
e em seguida usar a substituição de Euler
.
Passo 2
A partir de
dividimos numerador e denominador por
:
onde definimos
.
Passo 3
Como
, temos
Substituindo em
fica
Passo 4
Isolamos
e separamos variáveis:
logo
Reorganizando para separar:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo, faça
,
, então
No lado direito:
Portanto
Passo 6
Multiplique por 2 e reorganize:
Volte a
v=y/x :
logo
A solução geral implícita é
com
K constante.
Resposta
sendo
C constante arbitrária.