Considere um circuito RLC em série com R=2 Omega, L=1 H e C=0.25 F com fonte tensão nula E(t)=0. Determine a carga q(t) sabendo que q(0)=2 C e q^prime(0)=0.

Passo 1

O problema pede a carga q(t) num circuito RLC série ( R=2,Omega, L=1,H, C=0.25,F) sem fonte ( E(t)=0) com condições iniciais q(0)=2,C e q'(0)=0. Vamos usar a equação de movimento para circuitos RLC.

Passo 2

Pelo Kirchhoff, L,q''(t)+R,q'(t)+tfrac1C,q(t)=E(t). Como E(t)=0, isso vira a EDO homogênea
q''(t)+2,q'(t)+4,q(t)=0

Passo 3

Para resolver, supomos uma solução exponencial q(t)=e^rt. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
r^2+2r+4=0

Passo 4

Calculando as raízes, obtemos r=-1pm jraiz3. Com isso, a solução geral é
q(t)=e^-tl(Acos(raiz3,t)+Bsin(raiz3,t)r)

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais: de q(0)=2 vem A=2. Derivando q(t) e impondo q'(0)=0, chegamos a -A+Braiz3=0, logo B=2/raiz3.

Resposta

q(t)=e^-tl(2cos(raiz3,t)+2raiz3sin(raiz3,t)r)

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