Considere um circuito que tem indutor cuja indutância é
, capacitância
e
.
a) Depois de quanto tempo a amplitude da carga oscilante cairá de 60 % do seu valor inicial?
b) Qual o número de oscilações completas nesse intervalo de tempo corresponde?
a) Depois de quanto tempo a amplitude da carga oscilante cairá de 60 % do seu valor inicial?
b) Qual o número de oscilações completas nesse intervalo de tempo corresponde?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um circuito com um indutor de indutância
, um capacitor de capacitância
e um resistor de resistência
. A questão está relacionada ao comportamento de oscilações nesse circuito, especificamente como a amplitude da carga diminui com o tempo devido à presença do resistor. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre circuitos RLC e como o amortecimento funciona neles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com um circuito RLC série, que pode apresentar oscilações amortecidas. A amplitude da carga nesse tipo de circuito diminui exponencialmente com o tempo devido à resistência. A fórmula que descreve essa diminuição é:
Aqui,
é a carga no tempo
,
é a carga inicial, e
é a constante de amortecimento que depende dos componentes do circuito.
Passo 3
Vamos calcular a constante de amortecimento
. Para um circuito RLC série, ela é dada por:
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 4
Agora queremos saber após quanto tempo a amplitude da carga cai para 60% do valor inicial. Isso significa que:
Vamos resolver para
:
Passo 5
Calculando o tempo
:
Passo 6
Agora, para a parte b, precisamos descobrir quantas oscilações completas ocorrem nesse intervalo de tempo. Primeiro, determinamos a frequência das oscilações no circuito RLC sem considerar o amortecimento, que é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, multiplicamos a frequência pelo tempo para encontrar o número de oscilações:
Como não podemos ter uma fração de uma oscilação completa, arredondamos para baixo:
Resposta
a) A amplitude da carga cai para 60% do valor inicial após aproximadamente 4,09 milissegundos.
b) Nesse intervalo de tempo, correspondem 14 oscilações completas.