Considere um circuito que tem indutor cuja indutância é L=12 mH, capacitância C=1,6 mu F e R=3,0 Omega.
a) Depois de quanto tempo a amplitude da carga oscilante cairá de 60 % do seu valor inicial?
b) Qual o número de oscilações completas nesse intervalo de tempo corresponde?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um circuito com um indutor de indutância L = 12,mH, um capacitor de capacitância C = 1,6,muF e um resistor de resistência R = 3,0,Omega. A questão está relacionada ao comportamento de oscilações nesse circuito, especificamente como a amplitude da carga diminui com o tempo devido à presença do resistor. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre circuitos RLC e como o amortecimento funciona neles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com um circuito RLC série, que pode apresentar oscilações amortecidas. A amplitude da carga nesse tipo de circuito diminui exponencialmente com o tempo devido à resistência. A fórmula que descreve essa diminuição é:
Q(t) = Q0 cdot e^-mu t
Aqui, Q(t) é a carga no tempo t, Q0 é a carga inicial, e mu é a constante de amortecimento que depende dos componentes do circuito.

Passo 3

Vamos calcular a constante de amortecimento mu. Para um circuito RLC série, ela é dada por:
mu = R2L
Substituindo os valores fornecidos:
mu = 3,0,Omega2 times 12 times 10^-3,H = 3,00,024 = 125,s^-1

Passo 4

Agora queremos saber após quanto tempo a amplitude da carga cai para 60% do valor inicial. Isso significa que:
Q(t)Q0 = 0,6 = e^-mu t
Vamos resolver para t:
ln(0,6) = -mu t t = -ln(0,6)mu

Passo 5

Calculando o tempo t:
t = -ln(0,6)125 approx --0,5108125 approx 0,0040864,s t approx 4,09,ms

Passo 6

Agora, para a parte b, precisamos descobrir quantas oscilações completas ocorrem nesse intervalo de tempo. Primeiro, determinamos a frequência das oscilações no circuito RLC sem considerar o amortecimento, que é dada por:
f = 12piraizLC
Substituindo os valores:
f = 12piraiz12 times 10^-3,H times 1,6 times 10^-6,F f = 12piraiz19,2 times 10^-9 f approx 12pi times 4,38 times 10^-5 f approx 12,75 times 10^-4 f approx 3642,Hz

Passo 7

Agora, multiplicamos a frequência pelo tempo para encontrar o número de oscilações:
N = f times t N = 3642,Hz times 0,0040864,s N approx 14,88
Como não podemos ter uma fração de uma oscilação completa, arredondamos para baixo:
N approx 14,oscilações çõ

Resposta

a) A amplitude da carga cai para 60% do valor inicial após aproximadamente 4,09 milissegundos.
b) Nesse intervalo de tempo, correspondem 14 oscilações completas.

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