Seja alpha>0.
Quantas funções y:(-alpha, alpha) R passam pelo ponto (0,0) e satisfazem a EDO y^prime=(x+y)^2?

Passo 1

O exercício pede as funções y:(-α,α)→ℝ que passam por (0,0) e satisfazem a EDO y′=(x+y)². O conteúdo envolvido é EDO de primeira ordem com condição inicial, e vamos usar o teorema de existência e unicidade e um método de resolução via substituição.

Passo 2

Como f(x,y)=(x+y)² é C¹ em ℝ², pelo teorema de Picard-Lindelöf existe uma única solução local que satisfaz y(0)=0.

Passo 3

Para resolver, fazemos a substituição z=x+y. Calculamos z′:
z' = dzdx = 1 + dydx = 1 + (x+y)^2 = 1 + z^2

Passo 4

Separamos variáveis na equação de z:
dz1+z^2 = dx
e integramos:
arctan(z) = x + C

Passo 5

Voltando a y, temos z=tan(x+C) e portanto
y = z - x = tan(x + C) - x

Passo 6

Impondo a condição y(0)=0 obtém-se tan©=0 ⇒ C=kπ. Pela periodicidade do tan, todas as escolhas levam à mesma forma y(x)=tan(x)−x onde for definido.
O domínio máximo dessa solução que contém x=0 é (-π/2,π/2). Logo, para α≤π/2 há exatamente uma solução em (-α,α); se α>π/2 não se pode estender sem singularidade.

Resposta

Se α ≤ π/2, existe exatamente uma função: y(x)=tan(x)−x. Se α>π/2, não há nenhuma solução definida em todo (-α,α).

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