Seja
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Quantas funções
passam pelo ponto
e satisfazem a EDO
?
Quantas funções
Passo 1
O exercício pede as funções y:(-α,α)→ℝ que passam por (0,0) e satisfazem a EDO y′=(x+y)². O conteúdo envolvido é EDO de primeira ordem com condição inicial, e vamos usar o teorema de existência e unicidade e um método de resolução via substituição.
Passo 2
Como f(x,y)=(x+y)² é C¹ em ℝ², pelo teorema de Picard-Lindelöf existe uma única solução local que satisfaz y(0)=0.
Passo 3
Para resolver, fazemos a substituição z=x+y. Calculamos z′:
Passo 4
Separamos variáveis na equação de z:
e integramos:
Passo 5
Voltando a y, temos z=tan(x+C) e portanto
Passo 6
Impondo a condição y(0)=0 obtém-se tan©=0 ⇒ C=kπ. Pela periodicidade do tan, todas as escolhas levam à mesma forma y(x)=tan(x)−x onde for definido.
O domínio máximo dessa solução que contém x=0 é (-π/2,π/2). Logo, para α≤π/2 há exatamente uma solução em (-α,α); se α>π/2 não se pode estender sem singularidade.
O domínio máximo dessa solução que contém x=0 é (-π/2,π/2). Logo, para α≤π/2 há exatamente uma solução em (-α,α); se α>π/2 não se pode estender sem singularidade.
Resposta
Se α ≤ π/2, existe exatamente uma função: y(x)=tan(x)−x. Se α>π/2, não há nenhuma solução definida em todo (-α,α).