Uma garrafa de água que estava em uma geladeira a 0^circ C é levada para fora, onde a temperatura é de 25^circ C. Após 1 minuto, a água possui uma temperatura de 5^circ C. Pela Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, a temperatura T(t) em função do tempo satisfaz a EDO T^prime=k(T-Ta) para algum k in R, onde Ta é a temperatura ambiente.
O que ocorre com a temperatura quando t infty?

Passo 1

Neste problema, a água parte de temperatura inicial T(0)=0^circC, o meio ambiente está a Ta=25^circC e, após 1 minuto, mede-se T(1)=5^circC. O conteúdo aqui é a Lei de Newton do resfriamento/aquecimento, que leva à EDO de primeira ordem T'=k,(T-Ta). Vamos precisar resolver essa EDO, ajustar as constantes pelas condições iniciais e analisar o comportamento quando ttoinfty.

Passo 2

Para resolver T'=k,(T-Ta), usamos separação de variáveis. Integramos:
integral dTT-Ta = integral k,dt implies ln|T-Ta| = k t + C1
Exponenciando, obtemos a forma geral da solução:
T(t)-Ta = C,e^k t Longrightarrow T(t) = Ta + C,e^k t, onde C é uma constante a determinar.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial T(0)=0^circC para achar C:
0 = T(0) = 25 + C,e^0 implies C = -25 Logo
T(t) = 25 - 25,e^k t

Passo 4

Agora usamos T(1)=5^circC para determinar k:
5 = 25 - 25,e^k implies 25,e^k = 20 implies e^k = 0.8 implies k = ln(0.8)

Passo 5

Finalmente, analisamos o limite para ttoinfty. Como k=ln(0.8)<0, temos e^k tto0. Portanto:
limttoinftyT(t) = 25 - 25cdot0 = 25

Resposta

Conforme ttoinfty, a temperatura da água tende a 25^circC.

Exercícios relacionados