Esboce o conjunto onde a função
está sendo integrada e inverta a ordem de integração
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a região
e depois inverter a ordem de integração em
Passo 2
No plano
, as curvas que limitam
são
para
variando de
a
. Ao esboçar vemos que
cresce de
a
e
cresce de
a
, criando uma região que fica “entre” a reta
e a curva
.
Passo 3
Para inverter a integral precisamos projetar
no eixo
.
A menor altura de vem de
em
, isto é
.
A maior vem de em
, isto é
.
Logo
A menor altura de
A maior vem de
Logo
Passo 4
Em
valem as desigualdades
A condição
equivale a
.
A condição é
.
Assim, para um dado em
,
A condição
Assim, para um dado
Como
quando
e
quando
, separam-se dois casos:
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituindo esses limites na integral em ordem invertida, obtemos