Esboce o conjunto onde a função f está sendo integrada e inverta a ordem de integração
integral1^e integrallog (x)^x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região
D = (x,y)mid 1 <= x <= e,;ln(x)<= y<= x
e depois inverter a ordem de integração em
integral1^eintegralln(x)^xf(x,y),dy,dx

Passo 2

No plano xy, as curvas que limitam D são
y=ln(x)e y=x
para x variando de 1 a e. Ao esboçar vemos que y=ln(x) cresce de 0 a 1 e y=x cresce de 1 a e, criando uma região que fica “entre” a reta y=x e a curva y=ln(x).

Passo 3

Para inverter a integral precisamos projetar D no eixo y.
A menor altura de D vem de ln(x) em x=1, isto é ymin=0.
A maior vem de y=x em x=e, isto é ymax=e.
Logo
0<= y<= e

Passo 4

Em D valem as desigualdades
ln(x)<= y<= x, 1<= x<= e
A condição ln(x)<= y equivale a x<= e^y.
A condição y<= x é x>= y.
Assim, para um dado y em [0,e],
max1,y;<=;x;<=;mine,e^y
Como e^y<= e quando y<=1 e e^y>= e quando y>=1, separam-se dois casos:
Para 0<= y<=1:
max1,y=1, mine,e^y=e^y Longrightarrow 1<= x<= e^y
Para 1<= y<= e:
max1,y=y, mine,e^y=e Longrightarrow y<= x<= e

Passo 5

Substituindo esses limites na integral em ordem invertida, obtemos

Resposta

integral1^eintegralln(x)^xf(x,y),dy,dx = integral0^1integral1^e^yf(x,y),dx,dy ;+; integral1^eintegraly^ef(x,y),dx,dy

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