Considere a circunferência de equação x^2+y^2-6 x+4 y-12=0 em relação ao sistema x O y. Faça uma translação de eixo tal que a nova origem seja O^prime(3,-2). Obtenha a equação da circunferência em relação ao novo sistema de coordenadas xOy

Passo 1

O enunciado nos dá a circunferência
x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0
e pede que façamos uma translação de eixos para que a nova origem O' seja o ponto (3,-2). Vamos usar o fato de que, ao transladar o centro da circunferência para a origem, a equação se simplifica.

Passo 2

Para encontrar o centro e o raio, completamos quadrados na equação original:
x^2 - 6x + y^2 + 4y - 12 = 0 ;Longrightarrow; (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 -12 = 0 ;Longrightarrow; (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25
Assim, o centro é (3,-2) e o raio é 5.

Passo 3

Definimos as novas coordenadas (x',y') de forma que o ponto (3,-2) no sistema original vire a origem no sistema novo:
x' = x - 3, y' = y + 2
Logo, inversamente,
x = x' + 3, y = y' - 2

Passo 4

Substituímos na equação original:
(x'+3)^2 + (y'-2)^2 - 6(x'+3) + 4(y'-2) - 12 = 0
Expandindo e agrupando termos:
x'^2 + 6x' + 9 + y'^2 - 4y' + 4 - 6x' - 18 + 4y' - 8 - 12 = 0 ;Longrightarrow; x'^2 + y'^2 - 25 = 0 ;Longrightarrow; x'^2 + y'^2 = 25

Resposta

x'^2 + y'^2 = 25

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