Determinar o vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
y^225-x^249=1

Passo 1

O enunciado pede que determinemos os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole cuja equação é
y^225-x^249=1
Trata-se de uma hipérbole com eixo transverso vertical. Vamos usar a forma canônica
y^2a^2-x^2b^2=1
e as fórmulas conhecidas de geometria analítica de cônicas.

Passo 2

Comparando com
y^2a^2-x^2b^2=1
vemos que a^2=25 e b^2=49. Logo
a=5, b=7
Para obter a distância focal c usamos
c^2=a^2+b^2=25+49=74,
resultando em
c=raiz74

Passo 3

Os vértices estão sobre o eixo y a uma distância a da origem, portanto são
(0,a)=(0,5) e (0,-a)=(0,-5)

Passo 4

Os focos ficam também sobre o eixo y a uma distância c da origem, portanto
(0,c)=(0,raiz74) e (0,-c)=(0,-raiz74)

Passo 5

A excentricidade de uma hipérbole é
e=ca=raiz745

Passo 6

Para esboçar o gráfico, marcamos os vértices em (0,pm5) e traçamos as assíntotas que passam pela origem com inclinações pm a/b=pm5/7, isto é,
y=pm57x
Em seguida desenhamos duas folhas que se abrem para cima e para baixo a partir dos vértices, aproximando-se das assíntotas à medida que |y|toinfty.

Resposta

Vértices: (0,5) e (0,-5).
Focos: (0,raiz74) e (0,-raiz74).
Excentricidade: e=dfracraiz745

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