Por uma rotação de 45^circ dos eixos coordenados, uma certa equação é transformada na equação 16 x^prime 2 4 y^prime 2=16. Encontre a equação original nas coordenadas x, y.

Passo 1

O enunciado diz que após uma rotação dos eixos em theta=45^circ a equação original passa a ser
16x'^2 + 4y'^2 = 16
O que precisamos é usar as fórmulas de rotação de eixos para voltar a expressar tudo em (x,y).

Passo 2

Em uma rotação dos eixos por theta=45^circ no sentido anti-horário, as relações entre as coordenadas são
x' = xcos45^circ + ysin45^circ e y' = -,xsin45^circ + ycos45^circ
Como cos45^circ=sin45^circ=tfrac1raiz2, temos
x' = x+yraiz2, y' = -x+yraiz2

Passo 3

Substituindo essas expressões em
16x'^2 + 4y'^2 = 16
obtemos
16l(tfracx+yraiz2r)^2 ;+;4l(tfrac-x+yraiz2r)^2 ;=;16

Passo 4

Cada quadrado traz um fator tfrac12, logo
16(x+y)^22 ;+;4(y-x)^22 = 16 Longrightarrow 8(x+y)^2 + 2(y-x)^2 = 16

Passo 5

Agora expandimos e agrupamos termos semelhantes:
8l(x^2+2xy+y^2r) + 2l(x^2-2xy+y^2r) = 16
10x^2 + 12xy + 10y^2 = 16

Passo 6

Para simplificar, dividimos ambos os lados por 2:
5x^2 + 6xy + 5y^2 = 8

Resposta

5x^2 + 6xy + 5y^2 = 8

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