Detenninar os vértices A1 e A2, os focos, a medida do eixo maior, a medida do eixo menor, a distância focal, a equação da retas diretrizes e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
4 x^2+9 y^2=25

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a elipse
4x^2+9y^2=25
e queremos determinar suas características principais (vértices, focos, eixos, distância focal, diretrizes, excentricidade) e fazer um esboço. O conteúdo utilizado será a forma padrão da elipse centrada na origem e as fórmulas
x^2a^2+y^2b^2=1, c^2=a^2-b^2, e=ca,diretrizes: x=pmae

Passo 2

Colocando em forma padrão, dividimos por 25:
4x^225+9y^225=1 Longrightarrow x^225/4+y^225/9=1
Aqui
a^2=254, b^2=259,
e como 25/4>25/9, temos a=tfrac52 eixo maior no sentido x e b=tfrac53 eixo menor no sentido y.

Passo 3

Vértices (intersecção com o eixo maior) e interceptos no eixo menor:
A1=(-a,0)=l(-tfrac52,0r), A2=(a,0)=l(tfrac52,0r),
e também corta o eixo y em l(0,pm br)=(0,pmtfrac53).
Comprimento do eixo maior:
2a=2cdottfrac52=5
Comprimento do eixo menor:
2b=2cdottfrac53=tfrac103

Passo 4

Distância focal e focos:
c^2=a^2-b^2 =254-259 =225-10036 =12536,
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c=5raiz56
Focos em
(pm c,0)=l(pm5raiz56,0r),
e distância focal (entre os dois focos)
2c=5raiz53

Passo 5

Excentricidade:
e=ca =tfrac5raiz56tfrac52 =5raiz56cdot25 =raiz53

Passo 6

Equações das diretrizes:
x=pmae =pmtfrac52tfracraiz53 =pm52cdot3raiz5 =pm152raiz5 =pm3raiz52

Passo 7

Esboço do gráfico: a elipse está centrada na origem, com eixo maior horizontal de comprimento 5 e eixo menor vertical de comprimento tfrac103, vértices em l(pmtfrac52,0r) e interceptos em y em l(0,pmtfrac53r).

Resposta

A1 = (-52, 0)
A2 = (52, 0)
Focos: (pm5raiz56, 0)
Eixo maior: 2a = 5
Eixo menor: 2b = 103
Distância focal: 2c = 5raiz53
Diretrizes: x = pm3raiz52
Excentricidade: e = raiz53

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