Considere as circunferências C1:(x-4)^2+(y-3)^2=4 e C2:(x-10)^2+(y-11)^2=9. Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2, isto é, r tangencia C1 e C2 e intercepta o segmento de reta O1 O2 definido pelos centros O1 de C1 e O2 de C2. Os pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede L. O valor de L^2 é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas circunferências, C1 e C2 , com equações dadas. A ideia é encontrar o quadrado do comprimento L de um segmento que é tangente interna a ambas as circunferências e intercepta a linha que liga os centros delas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a distância entre centros e propriedades de retas tangentes a círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os centros e os raios das circunferências C1 e C2 .
Para C1: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 4 :
  • Centro O1 = (4, 3)
  • Raio r1 = raiz4 = 2
Para C2: (x-10)^2 + (y-11)^2 = 9 :
  • Centro O2 = (10, 11)
  • Raio r2 = raiz9 = 3

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os centros O1 e O2 . A fórmula para a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando os valores:
d = raiz(10 - 4)^2 + (11 - 3)^2 = raiz6^2 + 8^2 = raiz36 + 64 = raiz100 = 10

Passo 4

Como estamos lidando com uma reta tangente interna, o comprimento do segmento L pode ser encontrado usando a fórmula:
L = raizd^2 - (r1 + r2)^2
Onde:
  • d é a distância entre os centros
  • r1 e r2 são os raios das circunferências

Passo 5

Substituindo os valores que já temos:
L = raiz10^2 - (2 + 3)^2 = raiz100 - 25 = raiz75

Passo 6

Agora, vamos calcular L^2 :
L^2 = (raiz75)^2 = 75

Resposta

O valor de L^2 é 75.

Exercícios relacionados