Escreva cada uma das funções em termos de funções degrau unitário. Ache a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=ll0, & 0 <= t<1 t^2, & t >= 1

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t)= 0, & 0<= t<1, t^2, & t>=1,
e pede (1) escrevê-la em termos da função degrau unitário e (2) achar sua transformada de Laplace. Vamos usar o Teorema do Deslocamento no Tempo (segunda propriedade de deslocamento) para calcular a transformada.

Passo 2

Como f(t)=0 para t<1 e f(t)=t^2 para t>=1, podemos escrevê-la diretamente como
f(t)=t^2,u(t-1),
onde u(t-1) é o degrau unitário deslocado para t=1.

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Deslocamento no Tempo, precisamos escrever a parte que multiplica u(t-1) em função de tau=t-1. Note que
t^2 = l((t-1)+1r)^2 = (t-1)^2 + 2(t-1) + 1
Logo,
f(t) = l[(t-1)^2 + 2(t-1) + 1r],u(t-1)

Passo 4

Pelo Teorema do Deslocamento no Tempo, se
g(t)=h(t-a),u(t-a),
então
Lg(t)(s) = e^-a s,Lh(t)(s)
Aqui a=1 e h(t) = t^2 + 2t + 1. Vamos calcular
H(s)=Lt^2+2t+1(s) =integral0^inftyl(t^2+2t+1r)e^-s t,dt

Passo 5

Usando as fórmulas conhecidas
Lt^n(s)=n!s^n+1,
temos
integral0^inftyt^2e^-s tdt = 2s^3, integral0^infty2t,e^-s tdt = 2s^2, integral0^infty1cdot e^-s tdt = 1s
Somando,
H(s) = 2s^3 + 2s^2 + 1s

Passo 6

Aplicando o fator e^-as com a=1, obtemos a transformada de Laplace de f(t):
Lf(t)(s) = e^-1cdot s,H(s) = e^-sl(2s^3 + 2s^2 + 1sr)

Resposta

A escrita em termos de degrau é
f(t)=t^2,u(t-1) ou f(t)=l[(t-1)^2+2(t-1)+1r]u(t-1),
e sua transformada de Laplace é
Lf(t)(s) = e^-sl(2s^3 + 2s^2 + 1sr)

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