Considere a clínica com 15 \% de pacientes tuberculosos. (a) Qual a probabilidade de que o 15^{\circ} paciente seja o terceiro com tuberculose? (b) Qual a média de pacientes sem tuberculose antes que o sexto paciente com tuberculose seja testado?

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido:
  • A clínica tem 15\% de pacientes tuberculosos. Vou chamar a probabilidade de um paciente ser tuberculoso de p, então p=0,15.
  • Pergunta (a): Qual a probabilidade de que o 15^{\circ} paciente seja o terceiro com tuberculose? Ou seja, que o terceiro sucesso ocorra exatamente no ensaio n=15 com r=3.
  • Pergunta (b): Qual a média (esperança) do número de pacientes sem tuberculose antes de que o sexto paciente com tuberculose seja testado? Ou seja, a esperança do número de falhas (não tuberculosos) antes do r=6-ésimo sucesso, com p=0,15.

Passo 2

Modelagem e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Estamos numa sequência de testes independentes, cada paciente tem probabilidade p=0,15 de ser “sucesso” (ter tuberculose) e 1-p de ser “falha” (não ter).
  • A situação “o n-ésimo ensaio é o r-ésimo sucesso” é descrita pela distribuição binomial negativa (também chamada de distribuição do r-ésimo sucesso).
  • Intuição da fórmula: para que o r-ésimo sucesso ocorra exatamente no ensaio n, nos primeiros n-1 ensaios devem ocorrer exatamente r-1 sucessos (em qualquer ordem) e o n-ésimo deve ser sucesso. O número de formas de escolher quais r-1 entre n-1 é \binom{n-1}{r-1}.
  • A probabilidade dessa configuração é, então:
\Pr(\text{o \(r\)-ésimo sucesso em }n)=\binom{n-1}{r-1}\,p^{r}\,(1-p)^{\,n-r}.é
  • Aqui p é a probabilidade de sucesso por ensaio, r é o número de sucessos que queremos, e n é o índice do ensaio em que ocorre o r-ésimo sucesso.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao item (a):
  • Temos r=3 e n=15, com p=0,15 e 1-p=0,85.
  • Usando a fórmula:
\Pr(\text{o \(15^{\circ}\) é o \(3^{\circ}\) tuberculoso})=\binom{15-1}{3-1}\,(0,15)^{3}\,(0,85)^{15-3}.é
  • Calculemos passo a passo:
\binom{14}{2}=\frac{14\cdot13}{2}=91.
(0,15)^{3}=0,15\cdot0,15\cdot0,15=0,003375.
Para (0,85)^{12} posso fazer potências por etapas:
(0,85)^{2}=0,7225,\quad (0,85)^{4}=(0,7225)^{2}=0,52200625,
(0,85)^{6}=(0,85)^{4}\cdot(0,85)^{2}=0,52200625\cdot0,7225\approx0,377362,
(0,85)^{12}=(0,85)^{6}\cdot(0,85)^{6}\approx0,377362^{2}\approx0,142395.
  • Multiplicando tudo:
\Pr=\;91\cdot0,003375\cdot0,142395\approx0,04373.
  • Interpretação rápida: a probabilidade é aproximadamente 0,04373, ou cerca de 4{,}373\%. É razoavelmente baixa porque pedir que só surjam 2 tuberculosos nos primeiros 14 pacientes quando a chance individual é 15\% é pouco provável.

Passo 4

Resolver o item (b) — expectativa do número de pacientes sem tuberculose antes do 6^{\circ} tuberculoso:
  • Duas formas equivalentes de entender:
    1. A esperança do número total de ensaios até o r-ésimo sucesso é \displaystyle \frac{r}{p}. Isso vem da ideia de que, em média, cada sucesso “custa” 1/p ensaios (porque a média de uma geométrica é 1/p), e para obter r sucessos precisamos, em média, de r vezes isso.
    2. O número de falhas (não tuberculosos) antes do r-ésimo sucesso é igual ao número total de ensaios até o r-ésimo sucesso menos r (pois desses ensaios, r são sucessos).
  • Portanto, a esperança do número de falhas antes do r-ésimo sucesso é
\mathbb{E}[\text{falhas antes do }r\text{-ésimo sucesso}]=\frac{r}{p}-r=r\left(\frac{1-p}{p}\right).é
  • Substituindo r=6 e p=0,15:
\frac{1-p}{p}=\frac{0,85}{0,15}=\frac{85}{15}=\frac{17}{3}\approx5,666\ldots
\mathbb{E}=\;6\cdot\frac{0,85}{0,15}=6\cdot\frac{17}{3}=34.
  • Interpretação: em média espera-se encontrar 34 pacientes sem tuberculose antes de se testar o sexto paciente com tuberculose.

Resposta

(a) \displaystyle \binom{14}{2}(0,15)^{3}(0,85)^{12}\approx0,04373
(b) 34

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