Considere a clínica com
de pacientes tuberculosos. (a) Qual a probabilidade de que o
paciente seja o terceiro com tuberculose? (b) Qual a média de pacientes sem tuberculose antes que o sexto paciente com tuberculose seja testado?
Passo 1
Dados do enunciado e o que é pedido:
- A clínica tem
de pacientes tuberculosos. Vou chamar a probabilidade de um paciente ser tuberculoso de , então . - Pergunta (a): Qual a probabilidade de que o
paciente seja o terceiro com tuberculose? Ou seja, que o terceiro sucesso ocorra exatamente no ensaio com . - Pergunta (b): Qual a média (esperança) do número de pacientes sem tuberculose antes de que o sexto paciente com tuberculose seja testado? Ou seja, a esperança do número de falhas (não tuberculosos) antes do
-ésimo sucesso, com .
Passo 2
Modelagem e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Estamos numa sequência de testes independentes, cada paciente tem probabilidade
de ser “sucesso” (ter tuberculose) e de ser “falha” (não ter). - A situação “o
-ésimo ensaio é o -ésimo sucesso” é descrita pela distribuição binomial negativa (também chamada de distribuição do -ésimo sucesso). - Intuição da fórmula: para que o
-ésimo sucesso ocorra exatamente no ensaio , nos primeiros ensaios devem ocorrer exatamente sucessos (em qualquer ordem) e o -ésimo deve ser sucesso. O número de formas de escolher quais entre é . - A probabilidade dessa configuração é, então:
- Aqui
é a probabilidade de sucesso por ensaio, é o número de sucessos que queremos, e é o índice do ensaio em que ocorre o -ésimo sucesso.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao item (a):
- Temos
e , com e . - Usando a fórmula:
- Calculemos passo a passo:
Para
posso fazer potências por etapas:
- Multiplicando tudo:
- Interpretação rápida: a probabilidade é aproximadamente
, ou cerca de . É razoavelmente baixa porque pedir que só surjam 2 tuberculosos nos primeiros 14 pacientes quando a chance individual é é pouco provável.
Passo 4
Resolver o item (b) — expectativa do número de pacientes sem tuberculose antes do
tuberculoso:
- Duas formas equivalentes de entender:
- A esperança do número total de ensaios até o
-ésimo sucesso é . Isso vem da ideia de que, em média, cada sucesso “custa” ensaios (porque a média de uma geométrica é ), e para obter sucessos precisamos, em média, de vezes isso. - O número de falhas (não tuberculosos) antes do
-ésimo sucesso é igual ao número total de ensaios até o -ésimo sucesso menos (pois desses ensaios, são sucessos).
- A esperança do número total de ensaios até o
- Portanto, a esperança do número de falhas antes do
-ésimo sucesso é
- Substituindo
e :
- Interpretação: em média espera-se encontrar
pacientes sem tuberculose antes de se testar o sexto paciente com tuberculose.
Resposta
(a)
(b)
(b)