Considere uma colisāo completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa
, tem velocidade, antes da colisāo,
. O segundo objeto, de massa
, está parado antes da colisāo. A pós a colisāo, o objeto de massa
passa a ter velocidade
e o objeto de massa
passa a ter velocidade
. A velocidade
forma um ângulo de
como eixo
.
Determine a velocidade
, em termos de
e
.
Determine a velocidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma colisão completamente elástica entre dois objetos. Temos um objeto de massa $ m_1 $ que está se movendo com velocidade $ \vec{v} = v \hat{x} $ antes da colisão, e outro objeto de massa $ m_2 $ que está parado. Após a colisão, o objeto $ m_1 $ muda de direção e passa a ter velocidade $ \vec{v} = -v_1 \hat{y} $, enquanto o objeto $ m_2 $ ganha uma velocidade $ \vec{v}_2 $ formando um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade $ v_1 $ em termos de $ m_1 $, $ m_2 $, $ v $ e $ \theta $. Vamos precisar usar as leis de conservação de momento e energia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que numa colisão completamente elástica, tanto o momento quanto a energia cinética são conservados. Isso significa que a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total após a colisão, e a energia cinética total também permanece a mesma.
Passo 3
Vamos separar as componentes do momento nas direções $ x $ e $ y $.
Antes da colisão:
- O objeto $ m_1 $ tem momento $ p_{1x} = m_1 v $ na direção $ x $.
- O objeto $ m_2 $ está parado, então $ p_{2x} = 0 $ e $ p_{2y} = 0 $.
Depois da colisão:
- O objeto $ m_1 $ tem momento $ p_{1y} = m_1 (-v_1) $ na direção $ y $.
- O objeto $ m_2 $ tem momento nas direções $ x $ e $ y $:
- $ p_{2x} = m_2 v_2 \cos(\theta) $
- $ p_{2y} = m_2 v_2 \sin(\theta) $
Passo 4
Aplicando a conservação do momento na direção $ x $:
Antes da colisão, somente $ m_1 $ tem momento na direção $ x $:
Isso nos dá um relacionamento entre $ v $ e $ v_2 \cos(\theta) $.
Passo 5
Agora, aplicando a conservação do momento na direção $ y $:
Antes da colisão, não há momento na direção $ y $, então:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Vamos agora usar a conservação da energia cinética. A energia cinética antes da colisão é apenas a do objeto $ m_1 $:
Depois da colisão, temos a energia cinética dos dois objetos:
Igualando ambas as expressões:
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2:
Passo 7
Agora, vamos resolver o sistema de equações que temos. Da conservação do momento na direção $ x $:
E da conservação do momento na direção $ y $:
Podemos substituir $ v_2 $ da primeira equação na segunda.
Passo 8
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituindo $ v_2 $ na equação para $ v_1 $:
Simplificando:
Passo 9
Porém, isso não considera a conservação da energia. Voltando à equação da energia cinética:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por $ m_1 $:
Resolvendo para $ v_1^2 $:
Tomando a raiz quadrada:
Resposta
A velocidade $ v_1 $ é dada por: