Considere uma colisāo completamente elástica entre dois objetos. O primeiro objeto, de massa m1, tem velocidade, antes da colisāo, v=v x. O segundo objeto, de massa m2, está parado antes da colisāo. A pós a colisāo, o objeto de massa m1 passa a ter velocidade v=-v1 bary e o objeto de massa m2 passa a ter velocidade v2. A velocidade v2 forma um ângulo de theta como eixo x.
Determine a velocidade v1, em termos de m1, m2, v e theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma colisão completamente elástica entre dois objetos. Temos um objeto de massa $ m_1 $ que está se movendo com velocidade $ \vec{v} = v \hat{x} $ antes da colisão, e outro objeto de massa $ m_2 $ que está parado. Após a colisão, o objeto $ m_1 $ muda de direção e passa a ter velocidade $ \vec{v} = -v_1 \hat{y} $, enquanto o objeto $ m_2 $ ganha uma velocidade $ \vec{v}_2 $ formando um ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade $ v_1 $ em termos de $ m_1 $, $ m_2 $, $ v $ e $ \theta $. Vamos precisar usar as leis de conservação de momento e energia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que numa colisão completamente elástica, tanto o momento quanto a energia cinética são conservados. Isso significa que a quantidade de movimento total antes da colisão é igual à quantidade de movimento total após a colisão, e a energia cinética total também permanece a mesma.

Passo 3

Vamos separar as componentes do momento nas direções $ x $ e $ y $.
Antes da colisão:
  • O objeto $ m_1 $ tem momento $ p_{1x} = m_1 v $ na direção $ x $.
  • O objeto $ m_2 $ está parado, então $ p_{2x} = 0 $ e $ p_{2y} = 0 $.
Depois da colisão:
  • O objeto $ m_1 $ tem momento $ p_{1y} = m_1 (-v_1) $ na direção $ y $.
  • O objeto $ m_2 $ tem momento nas direções $ x $ e $ y $:
    • $ p_{2x} = m_2 v_2 \cos(\theta) $
    • $ p_{2y} = m_2 v_2 \sin(\theta) $

Passo 4

Aplicando a conservação do momento na direção $ x $:
Antes da colisão, somente $ m_1 $ tem momento na direção $ x $:
x
Isso nos dá um relacionamento entre $ v $ e $ v_2 \cos(\theta) $.

Passo 5

Agora, aplicando a conservação do momento na direção $ y $:
Antes da colisão, não há momento na direção $ y $, então:
y
Isso pode ser reescrito como:
y

Passo 6

Vamos agora usar a conservação da energia cinética. A energia cinética antes da colisão é apenas a do objeto $ m_1 $:
m1
Depois da colisão, temos a energia cinética dos dois objetos:
12 m1 v^2
Igualando ambas as expressões:
12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2:
12 m1 v^2 = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema de equações que temos. Da conservação do momento na direção $ x $:
x
E da conservação do momento na direção $ y $:
v2 cos(theta) = m1 vm2
Podemos substituir $ v_2 $ da primeira equação na segunda.

Passo 8

Primeiro, da primeira equação:
v2 = m1 vm2 cos(theta)
Agora, substituindo $ v_2 $ na equação para $ v_1 $:
v2
Simplificando:
v1

Passo 9

Porém, isso não considera a conservação da energia. Voltando à equação da energia cinética:
m1 v^2 = m1 v1^2 + m2 (m1 vm2 cos(theta))^2
Simplificando:
m1 v^2 = m1 v1^2 + m1^2 v^2m2 cos^2(theta)
Dividindo ambos os lados por $ m_1 $:
m1
Resolvendo para $ v_1^2 $:
v^2 = v1^2 + m1 v^2m2 cos^2(theta)
Tomando a raiz quadrada:
v1^2

Resposta

A velocidade $ v_1 $ é dada por:
v1

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