Considere um computador binário, cujo sistema de ponto flutuante tenha 1 bit para o sinal do número, 5 bits para o expoente e 6 bits para a mantissa num total de 12 bits. Responda:
a. Qual é o menor número positivo e o maior número positivo nele representável?
b. Qual é o maior
, tal que
?
c. Qual é o menor número maior que 4,25 , nele representável?
d. Qual é o maior número menor que 80 nele representável?
e. Efetue nele a multiplicação
e indique o resultado.
a. Qual é o menor número positivo e o maior número positivo nele representável?
b. Qual é o maior
c. Qual é o menor número maior que 4,25 , nele representável?
d. Qual é o maior número menor que 80 nele representável?
e. Efetue nele a multiplicação
Passo 1
O enunciado define um formato de ponto flutuante binário com 12 bits no total: 1 bit de sinal, 5 bits de expoente e 6 bits de mantissa. Vamos precisar:
– O bias do expoente, dado por .
– A noção de números normalizados e denormalizados.
– Como calcular o menor e o maior valor normalizado e denormalizado.
– Como achar o ULP (unidade de menor diferença) em torno de um valor dado.
– Como representar e arredondar na aritmética deste formato.
– O bias do expoente, dado por
– A noção de números normalizados e denormalizados.
– Como calcular o menor e o maior valor normalizado e denormalizado.
– Como achar o ULP (unidade de menor diferença) em torno de um valor dado.
– Como representar e arredondar na aritmética deste formato.
Passo 2
Vamos achar o menor e o maior número positivo representáveis:
- O menor denormalizado ocorre com expoente armazenado
(exp = ) e mantissa mínima não nula, isto é, fracção .
Logo
- O maior normalizado ocorre com
(exp = ) e mantissa fracionária máxima .
Logo
Passo 3
Para a parte (b), precisamos do ULP em torno de
.
- Escrevendo
em binário normalizado:
- O passo entre mantissas é
- Assim, a maior
que ainda faz arredondar para (meio-ULP ou menos) é
Passo 4
Para (c), o menor número maior que
é simplesmente
Passo 5
Para (d), note que
é exato e está na classe normalizada com expoente
. Nesse binário, o passo vale
Logo o maior número menor que
é
Passo 6
Para (e), vamos fazer
na máquina:
- Representação de
:
truncamos a mantissa a 6 bits:
.
- Multiplicação exata:
- Normalizando
:
que cabe exatamente nos 6 bits de mantissa.
Portanto o produto na máquina é
.
Resposta
(a) Menor positivo
, maior positivo
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
(b)
(c)
(d)
(e)